Limites y derivadas

La Derivadas y Limites.
Definición 1:
Sea y = f(x) una función, con x1 y x2 un par de valores en el dominio de f , de tal forma que f(x1) = y1 y f(x1) = y2, entonces:
a. El cambio de valor dex, al pasar de x1 a x2, dado por x2 – x1, se denomina incremento de x, y se representa por
b.
c. El cambio del valor de y, al pasar de y1 a y2, dado por y2 – y1, se denomina incremento de y, yse representa por

Ejemplo 1:
La ecuación c(x) = 50,000 +1500x determina el costo al producir x unidades.
¿Cuál es el número en los costos al incrementar la producción de 700 a 900 unidades?Solución:

El incremento en los costos es de: $ 300,000
Ejemplo 2:
La siguiente ecuación se demanda
40p = 5000 – 150x
Relaciona el número de unidades vendidas, x, aun precio p.
Calcule el númeroen las ventas al incrementar el precio de $ 50 a $ 57,50
Solución:
Al escribir x como muna función de p, obtenemos:

Entonces x = -2
El incremento negativo significa que al aumentar elpreciodisminuye el numero de unidades vendidas.
Si x representa un incremento cualquiera sobre x, entonces

Ejemplo 3
En la siguiente ecuación de oferta
X (p) = (100 + p)2 – 300p

Solución:
X (p) =10,000 + 200p + p – 300p
X (p) = 10,000 + p – 100p
Límites
Consideremos la siguiente ecuación que permite encontrar la distancia recorrida por un móvil en un tiempo t
X (t) = 100 + 50t - t2

Sedenomina velocidad media y la representaremos por v , así:

que también suele escribirse así:

Este valor límite de la velocidad promedio se denomina velocidad instantánea, por lo que escribimos:V = (t 0 20) = 10
Que se interpretara como la velocidad del móvil en el instante t= 20 Observe que hemos obtenido el valor limite de v para cuando t se acerca a cero, y no el valor de v para cuandot = 0.
Lo anterior nos permite definir de manera informar el límite:
Se dice que una función f tiende al límite L cerca de a, si f(x) se acerca a L a medida que x se acerca a a, pero siendo x = a...