Limites

UNIDAD III. Límites y Continuidad.

Competencia específica a desarrollar. Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

3.1 Definición de límite. Sea "f" una función que está definida en todo elemento de un intervalo abiertoque contiene a "c", excepto tal vez en "c". Se dice que el límite de f(x) cuando "x" tiende a "c" es igual a "L" si para todo [pic] existe un [pic] tal que:

si [pic]

Se denota por:

[pic]

[pic]

Lo anterior significa que no importa que tan pequeño sea el intervalo alrededor de L, siempre podemos conseguir un intervalo alrededor de "c" de manera que todas la imágenesde los elementos en este intervalo quedan "atrapadas" en el intervalo alrededor de L.

EJEMPLO.

2. Utilizar la gráfica dada para hallar el límite si existe de [pic], cuando "x" tiende a 1.

[pic]

Solución. [pic], cuando "x" tiende a 1, la función tiende a 3.

3. utilizar la gráfica dada para hallar el límite si existe de [pic], cuando "x" tiende a 0.[pic]

Solución. [pic], cuando "x" tiende a 0, la función tiende a 2.

3.2 Teoremas sobre límites. Sea "n" un entero positivo, "k" una constante, y "f" y "g" funciones con límites en "c". Entonces,

[pic]
[pic]

Aplicaciones del teorema principal sobre límites

EJEMPLOS.

1. Encuentre el [pic].
Solución.

[pic]

2. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]

3.Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]

4. Si el [pic] y el [pic], encuentre [pic].

Solución.

[pic]

[pic]

Teorema de sustitución. Si f es una función polinomial o una función racional, entonces [pic], siempre que el valor del denominador para "c" no sea cero, en el caso de una función racional.

EJEMPLOS.

1. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]

2.Encuentre el [pic].

Solución.

[pic], el cociente toma una forma sin significado, o sea se presenta una indeterminación. Siempre que ocurra esto se debe buscar una simplificación algebraica (factorización, racionalización o sustituir la relación trigonométrica por otra equivalente ).

[pic]

3. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]

4. Encuentre el [pic].

Solución.[pic], se presenta una indeterminación, se podrá evitar usando identidades trigonométricas.

[pic]

5. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]

6. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]

7. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic] [pic]

8. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic], no existe el límite

9. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]

= [pic]10. Dada [pic].

Como [pic]

[pic]=

[pic]

11. Encuentre el [pic].

Solución.

[pic]= [pic]

Límites al infinito.

Una función "f" podría aproximarse a un valor constante L al crecer o decrecer sin cota la variable independiente "x". Se expresa

[pic]

para denotar un límite al infinito. La siguiente figura muestra cuatro posibilidades delcomportamiento de una función "f" cuando "x" se hace grande en valor absoluto.

[pic]

Cuando la variable "x" tiende a infinito se obtienen en algunos casos los resultados siguientes en los que [pic] con [pic].

Cuando [pic];
|Límite |solución |en forma simplificada |
|[pic]|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic]...