Limites

ESLÍMITES Y CONTINUIDAD

El concepto de límite

lim f ( x ) = L
x →c

Se dice que “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”
si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L
aproximando x a “c” pero sin igualar a “c”.

En consecuencia, los límites describen lo que le sucede a una
función a medida que su variable x se aproxima a una
constante c.
Por ejemplo,queremos conocer qué le sucede a la siguiente
función f a medida que x tiende a 1.
x2 + x − 2
f (x ) =
x −1

X

0,995

0,999

f(x)

2,995

2,999

1

1,002

1,01

3,002

3,01

Aunque f(x) no está definida en x=1, podemos calcular f(x)
utilizando los valores de x que se acercan cada vez más a 1.

“El límite de f(x), a medida que x tiende a 1 es igual a 3”

Teorema deunicidad: Si existe el límite de la función f
cuando x tiende a “c” entonces

lim f ( x) = L
x →c

es único.

Tres funciones para las que lim f ( x ) = L
x →c

Dos funciones para las que lim f ( x )
x →c

no existe

Revisando el concepto de límite
Con objeto de revisar la definición de
límite observemos la función:

2 x − 1
f ( x) = 
6

si x ≠ 3
si x = 3

Si f es unafunción definida en un intervalo abierto que contiene
al número c, excepto quizás a “c” mismo, se dice que el límite de
f(x) es L, cuando x tiende a “c” y se escribe

lim f ( x ) = L

x→c

si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x)
aproximando x lo suficiente a “c”.

Álgebra de límites
Si k es una constante y existen los límites
entonces

lim f(x) y

x→a

limg(x)

x→a

lim [f ( x) + g( x)] = lim f ( x) + lim g( x)

x →a

x →a

x →a

lim [k ⋅ f ( x)] = k ⋅ lim f ( x)

x →a

x →a

lim [f ( x) ⋅ g( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g( x)

x →a

Además,

x →a

x →a

lim f ( x )
f(x) x→a
lim
=
, siempre que lim g( x ) ≠ 0
lim g( x )
x → a g( x )
x→a
x→a

y

lim [ f ( x )] n = [ lim f ( x )] n

x→a

x→a

Límites lateralesLímite lateral izquierdo

lim− f ( x ) = L

x →c

El límite lateral izquierdo de f(x) cuando x tiende a “c” ( o límite
de f(x) cuando x tiende a “c” por la izquierda) es igual a L si
podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x)
aproximando x lo suficiente a “c”, con x menor que “c”.

Límite lateral derecho

lim f ( x ) = L

x →c +

El límite lateral derecho de f(x)cuando x tiende a “c” ( o límite de
f(x) cuando x tiende a “c” por la derecha) es igual a L si podemos
acercar arbitrariamente a L los valores de f(x) aproximando x lo
suficiente a “c”, con x mayor que “c”.

Ejemplo:

 1− x2
f ( x) = 
2x + 1

si x < 2
si x ≥ 2

lim f (x) = lim (2x +1) = 5

x→2+

x→2+

lim f (x) = lim (1− x2) = −3

x→2−

x→2−

Teorema:

lim f ( x) = Lx →a

si y sólo si

lim+ f ( x) = L = lim− f ( x)

x →a

x →a

Ejercicio
Grafique en la calculadora o MAPLE las funciones
f ( x) = − x 2

g( x) = x 2 sen(1 / x)

h ( x) = x 2

Notar que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
¿Puede determinar gráficamente

lim g ( x)
x →0

?

Ejercicio:
Calcule

sen x − 2 x
x → 0 3 x + 4 sen x

lim

lim f ( x)

x→0

lim f ( x)
x→

π

21
sen

 x − 3
lim
x →3
1
x−3

x 2 sen(1 / x) , x > 0

si f(x) = 
x 3 + 3x
, x

π
2

π
2

Ejercicio:
Determine para qué valores de a∈IR existe el lim f ( x)
x →2

 x x− 8
x>2

f ( x) =  x − 2
 ax + 1
x M, cuando x
está suficientemente cerca de c.

lim f (x ) = ∞

x →c

Que el límite de la función f, cuando x tiende a “c”, sea menos
infinitosignifica que para cada número negativo N, f(x) < N,
cuando x está suficientemente cerca de c.

lim f (x) = −∞

x →c

Asíntotas verticales
La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si se
cumple al menos una de las siguientes afirmaciones:

lim f ( x) = ∞
x →a

lim f ( x) = −∞
x →a

lim f ( x) = ∞

x →a -

lim f ( x) = −∞

x →a -

lim f ( x) = ∞

x →a...