Limites

Universidad de Sonora

Departamento de Matemáticas.

Notas:
Límites y Continuidad

Dr. José Luis Díaz Gómez

2003

III. Límites y Continuidad de funciones
[pic]
1. EL PROCESO DEL LÍMITE
Mediante gráficos y tablas de valores de las funciones se introduce el concepto de límite de una función en un punto. También se proporciona casos en los cuales el límite no existe.
[pic]
|Ejemplo1. Con la gráfica y una tabla de valores. |[pic] |
|¿Qué le sucede a f(x) = x2 + 3 cuando x se acerca a 3? | |
|Solución: La figura 1.1 corresponde a la gráfica de esta función. En ella podemos ver que entre | ||más cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces los valores de f(x) se encuentran más | |
|cercanos a 12. | |
|La tabla 1.1 de valores refuerza esa percepción gráfica. ||

Tabla 1.1
|Hacia 3 por la izquierda |3 |Hacia 3 por la derecha |
|x |2,5 |2,9 |

Podemos ver que a medida que tomamos valores de x más próximos a 3, tanto para valores mayores que tres como para valoresmenores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12.
Ejemplo 2. Con la gráfica y una tabla de valores
|Si f(x) = [pic], ¿a qué valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2? |[pic] |
|Solución: La figura 1.2 muestra la gráfica de la función. | |
|Podemos ver que, aúncuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2, 4), las | |
|imágenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. También una tabla de valores | |
|utilizando valores de x próximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la derecha | ||(mayores que 2), nos convence de esa situación , ver la Tabla 1.2 | |

Tabla 1.2
|Hacia 2 por la izquierda |2 |Hacia 2 por la derecha |
|x |1,5 |1,9 |

Así, dela tabla 1.2 deducimos que los valores de f(x) se aproximan a 4 cuando los valores de x se aproximan a 2.
Ejemplo 3. Por la derecha y por la izquierda
|Consideremos ahora la función g(x) = [pic]. |[pic] |
|En su gráfica vemos que por la derecha de 0 las imágenes son 1, mientras que por la izquierda de 0 ||
|las imágenes son -1, la gráfica presenta un "salto" y entonces las imágenes no se acercan a un | |
|mismo valor. Podemos ver que el límite no existe. Hagamos una tabla como las de los ejemplos | |
|anteriores para verlo de otra manera, ver Tabla 1.3| |

Tabla 1.3
|Hacia 0 por la izquierda |0 |Hacia 0 por la derecha |
|x |-0,5 |-0,1 |

Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por la izquierda de 0...