Limites

1

CAPITULO 1

L´ ımites y Continuidad de funciones
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´ a ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

2
Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Marianela Abarca, Lisseth Angulo o y Walter Mora. EvelynAg¨ero. u Walter Mora, Marieth Villalobos, Evelyn Ag¨ero. u escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
1.1 L´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Idea intuitiva de l´ ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Generalizaci´n delconcepto de l´ o ımite . . . . . . . . . . . 1.1.3 Formalizaci´n de la idea intuitiva de l´ o ımite . . . . . . . . 1.1.4 Definici´n de l´ o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 L´ ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Definici´n de l´ o ımites laterales o unilaterales . . . . . . . . 1.1.7 Teoremas fundamentales sobre l´ ımites . . . . . . . . . . . 1.1.8Otros aspectos sobre l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9 L´ ımites que involucran funciones trigonom´tricas . . . . . e 1.1.10 L´ ımites infinitos y l´ ımites al infinito . . . . . . . . . . . . 1.1.11 Teoremas sobre l´ ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12 L´ ımites que involucran la funci´n exponencial y la funci´n o o Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1.2.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.2 Definici´n de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.3 Discontinuidades evitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Continuidad en un intervalo [a,b] . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Definici´n de continuidad utilizando y δ . . . . . . . . . o 1.2.6 Teoremas sobre continuidad defunciones . . . . . . . . . 1.2.7 Algunas propiedades de las funciones continuas . . . . . . 1.2.8 Continuidad y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Propiedades de las funciones inversas . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Valores m´ximos y m´ a ınimos para funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . logar´ ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 7 9 10 14 15 19 27 32 39 49 65 70 70 72 7476 78 79 81 85 88 91

1.2

3

4

Cap´ ıtulo 1: L´ ımites y Continuidad de funciones

1.1
1.1.1

L´ ımites
Idea intuitiva de l´ ımite

En este cap´ ıtulo vamos a presentar la idea formal de l´ ımite como una operaci´n aplicada a una funci´n en un o o punto. Se establecer´n tambi´n algunos teoremas sobre l´ a e ımites de sumas, productos y cocientes de funciones. Iniciaremosnuestro estudio con la idea intuitiva de l´ ımite. La presentaci´n de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del l´ o ımite de una funci´n en o un punto.

Ejemplo 1 Consideramos la funci´n definida por f (x) = x2 − 1 con dominio en R. o La representaci´n gr´fica es la siguiente: o a

Figura 1.1:

Nos interesa observar el comportamiento de la funci´n f para valores de x...