Linealidad

RESOLUCION DE UN CASO PRÁCTICO MEDIANTE MATLAB - TRANSFORMADA DE FOURIER Y FFT. LINEALIDAD

Se realizará la práctica trabajando primero con 3 señales senoidales y después se realizará de nuevo con ficheros wav.

Objetivo principal de la práctica: Comprender que la transformada de Fourier descompone las componentes de frecuencia de una señal. Es decir dada la señal:
x = A1 * sin(2*pi*f1*t +phi1) + A2 * sin(2*pi*f2*t + phi2) + ....
Se pueden separar las diferentes componentes de frecuencia en:
x1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + phi1)
x2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + phi2)
.....
De modo que x sería iguala a la suma de x1 + x2 + x3… Esto nos permite conocer las amplitudes y las fases de cada componente de frecuencia.
Al ser la transformada de Fourier una operación lineal se cumple que:
x = a1 *x1 + a2 * x2 + a3 * x3
X1 = FT[x1]; X2 = FT[x2]; X3 = FT[x3
X = FT[x] = a1 * X1 + a2 * X2 + a3 * X3

1. LINEALIDAD. SEÑALES SENOIDALES.
Nota: en color azul se indicará el lenguaje que se va introduciendo en matlab.

Primero se limpian las variables del espacio de trabajo por si hubiese alguna guardada anteriormente.
Clear;

Se define la frecuencia de muestreo teniendo en cuenta elteorema del muestreo.
fs=20000;

Se define el intervalo de tiempo sobre el que se definen las señales. Este parámetro determina la resolución espectral de la FFT.
Tmax=0.5;

Veamos brevemente que ocurre si variamos Tmax. Para ello definimos una señal senoidal cualquiera, definiendo la frecuencia, la amplitud y la fase de la señal.
f1=4815; a1=1.6; phi1 = 234 /360*2*piDefinimos un vector de tiempo.
t=0:1/fs:Tmax;
Para poder comparar dos vectores del mismo tamaño definimos:
N=length(t);
Definimos un vector de frecuencias del mismo tamaño que el vector de tiempos:
f=(0:(N-1))/N*fs;

Definimos la señal para el ejemplo de la variación de Tmax.
x1=a1*sin(2*pi*f1*t + phi1);

Ahora vamos a representar como varía la gráfica de amplitud-tiempo al variarTmax.
Para ello utilizamos los siguientes comandos:
figure(1);
subplot(1,1,1)
plot(t,x1,'.-')
xlabel('tiempo (s)');
ylabel('amplitud');
zoom on;
De modo que variando Tmax obtenemos las siguientes gráficas:
Para Tmax=0.5

Para Tmax=0.05

Para Tmax=0.005


Como se observa a medida que disminuye Tmax, en nuestra gráfica se distingue mejor la señal.
Definimos ahora las 3 señalessenoidales, definiendo la frecuencia, la amplitud y la fase de cada una de ellas.
Con fs=20000 y Tmax=0.2 (cambio el Tmax para que se aprecie mejor las gráficas) damos los siguientes valores:
f2=175; f3= 762; f4=5236;
a2=6.4; a3=3.4; a4=1.24;
phi2 =15 /360*2*pi; phi3 = -102 /360*2*pi; phi4 = 56 /360*2*pi;

Definimos también el vector de tiempos yde frecuencias
t=0:1/fs:Tmax; N=length(t); f=(0:(N-1))/N*fs;

Definimos ahora las señales.
x2=a2*sin(2*pi*f2*t + phi2);
x3=a3*sin(2*pi*f3*t + phi3);
x4=a4*sin(2*pi*f4*t + phi4);

Sumamos ahora las señales.
x=x2+x3+x4;

Pintamos ahora las señales representando la amplitud en función del tiempo.
En el subplot(2,1,1) se pinta la señal completa para x2, x3 y x4, mientras queen el subplot(2,1,2) pinto solo un intervalo de tiempo definido por k=1:300
figure(2);
subplot(2,1,1)
plot(t,x2,'.-',t,x3,'.-',t,x4,'.-');
xlabel('tiempo (s)'); ylabel('amplitud');
zoom on;
k=1:300;
subplot(2,1,2)
plot(t(k),x2(k),'.-',t(k),x3(k),'.-',t(k),x4(k),'.-'); % pinto solo un intervalo de tiempo
xlabel('tiempo (s)'); ylabel('amplitud');
zoom on;
Así se obtienen las siguientesgráficas:

Como se observa al reducir el intervalo de tiempo se aprecia mejor la amplitud de las tres señales.

Ahora realizamos la misma operación pero ahora para la suma de las 3 señales es decir para x. Nótese que para la segunda figura limito el rango del tiempo con xlim.
figure(3);
subplot(2,1,1)
plot(t,x,'.-') % pinto la señal completa para x (la señal suma)
xlabel('tiempo (s)');...