logaritmo natural, vulgar y funciones logaritmicas

Logaritmo natural
El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. Ellogaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisismatemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.2 Esta definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números realespositivos:
Y corresponde a la función inversa de la función exponencial:


Historia
La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668,1 a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural.3 Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,4puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.
Origen del término logaritmo natural
Inicialmente, y desde que el sistema decimal se volvió el sistema de numeración más común, podría parecer que la base 10 fuese más «natural» que labase e. Pero matemáticamente, el número 10 no es particularmente significativo. Su uso cultural—como base numérica para muchas sociedades—probablemente surge del típico número de dedos humanos.5 Otras culturas basaron sus sistemas de numeración eligiendo diversas bases como 5, 8, 12, 20, y 60.6 7 8
loge es el logaritmo «natural» porque automáticamente surge, y aparece más comúnmente, enmatemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de derivar una función logarítmica:9

Si la base b es igual a e, entonces la derivada es simplemente 1/x, y en x = 1 esta derivada es igual a 1. Otra razón por la cual el logaritmo de base -e- es el más natural es que puede ser definido muy fácilmente en términos de una integral o por series de Taylor y esto no sería tan sencillo si el logaritmo fuera deotra base.
Sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como ejemplo, tenemos un número de series simples relacionadas con el logaritmo natural. Además de que Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.10
Definición


ln(x) normalmente se representa como el área bajo la curvaf(t) = 1/t de 1 hasta x. Si x es menor que 1, el área de x hasta 1 se toma como negativa.
Formalmente, la función ln(x) se define para valores reales positivos, como el área bajo la gráfica de 1/t entre 1 y x. Esta área corresponde a una integral:
La función logaritmo natural ln:R+→R se define como:

Mediante esta definición es inmediato comprobar que esta función cumple la propiedad fundamentalde todo logaritmo:
,
El número para el cual esta función vale 1 resulta ser el número e. Por lo tanto, ln es el logaritmo con base e, o sea, la función inversa de ex.
Propiedades
El logaritmo natural cumple con las propiedades generales de los logaritmos, así como las identidades logarítmicas; Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes:


(Véase logaritmo complejo)...