Logaritmo

Logaritmo
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Logaritmos
Logarithms.svg
Gráfica de Logaritmos
Definición \ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}, x>0\,
Tipo Función real
Descubridor(es) Nikolaus Mercator (1668)[1]
Dominio (0,+\infty)\,
Codominio (-\infty,+\infty)\,
Imagen (-\infty,+\infty)\,
Propiedades Biyectiva
CóncavaEstrictamente creciente
Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada \frac{1}{x}\,
Función inversa e^x\,
Límites \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\,
\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\,
Funciones relacionadas Función exponencial
El rojo representa el logaritmo en base e.
El verde corresponde a la base 10.
El púrpura al de la base 1,7.

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una basedeterminada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.
Contenido
[ocultar]* 1 Definición
* 2 Identidades logarítmicas
o 2.1 Cambio de base
* 3 Elección de la base
* 4 Historia
* 5 Definición analítica
o 5.1 Propiedades de la función logarítmica
* 6 Propiedades generales
* 7 Logaritmos decimales
* 8 Extensiones
o 8.1 Números reales
o 8.2 Números complejos
o 8.3 Logaritmo en baseimaginaria
o 8.4 Matrices
* 9 Véase también
* 10 Referencias
o 10.1 Bibliografía
* 11 Enlaces externos

[editar] Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribecomo: n = logb x, lo que permite obtener n.[2]

\log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\,

(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y sólo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")

* La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b>0, b \ne 1)\,.
* x tiene que ser un número positivo (x>0)\,.
* n puede ser cualquier número real(n\in\mathbb{R})\,.

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
[editar] Identidades logarítmicas
Artículo principal: Identidades logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

* El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

\!\,\log(a b) = \log(a) + \log(b) \,

* El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

\!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b) \,

* El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

\!\, \log(a ^ x) = x \log(a) \,

* El logaritmo de una raíz es igualal producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

\!\, \log(\sqrt[x]{y}) = \frac{\log(y)}{x} \,

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

\!\, \sqrt[x]{y} = y^\frac{1}{x} \,

[editar] Cambio de base

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario),o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,

en la...