Logaritmo

Logaritmo





Saltar a: navegación, búsqueda




Logaritmo




Gráfica de Logaritmo



Definición





Tipo

Función real



Descubridor(es)

John Napier (1614)



Dominio





Codominio





Imagen





Propiedades

Biyectiva
Cóncava
Estrictamente creciente
Trascendente



Cálculo infinitesimal



DerivadaFunción inversa





Límites






Funciones relacionadas

Función exponencial



El rojo representa el logaritmo en base e.
El verde corresponde a la base 10.
El púrpura al de la base 1,7.


En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, ellogaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log ycomo subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron rápidamente adoptados por científicos, ingenieros, y otros para realizaroperaciones más fácilmente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.





Contenido
[ocultar] 1Definición
2 Propiedades generales
3 Identidades logarítmicas 3.1 Elección y cambio de base

4 Propiedades analíticas 4.1 Propiedades de la función logarítmica

5 Extensiones 5.1 Números reales
5.2 Números complejos
5.3 Logaritmo en base imaginaria
5.4 Matrices
5.5 Logaritmo discreto

6 Historia
7 Véase también
8 Referencias 8.1 Bibliografía

9 Enlaces externos[editar] Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.1




(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si belevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ? 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ? R).

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

[editar] Propiedadesgenerales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se diceque es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-8, +8). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que...