Logaritmos

LOGARITMOS


EL LOGARITMO COMO FUNCION INVERSA DE LA FUNCION EXPONENCIAL.
Si [pic]la función exponencial [pic], es creciente ([pic], ver fig 1), o decreciente ([pic], ver fig.2), en ambos casosla función es inyectiva, por lo tanto la función exponencial posee inversa denominada función logarítmica de x en base a, se denota como: [pic] (ver fig.3). Por lo tanto, definimos:
[pic]PROPIEDADES DE LOGARITMOS
P1.- Propiedades que se verifican con la definición de logaritmo:
a) [pic][pic]
b) [pic]
c) [pic] reemplazando el valor de N, en la potencia se tiene lademostración de la propiedad.
P2.- [pic]
P3.- [pic]
P4.- [pic]
Para demostrar las propiedades 2, 3, y 4 , hacemos:
[pic]
Demostración de P2:
m.m.a m. [pic], [pic]
Demostración de P3:d.m.a m. [pic], [pic]
Demostración de P4:
Si [pic], entonces: [pic]
P5.- CAMBIO DE BASE
[pic]
Demostración.
Además de las proposiciones [pic], sea: [pic]
Reemplazando Bpor su valor y después teniendo en cuenta el valor de n, tenemos: [pic]


P6.- [pic]
Demostración:
A la expresión [pic], le aplicamos “cambio de base” en base a:
[pic]
P7.-[pic]
Demostración:
Por P4, y P6, respectivamente, se tiene:
[pic]
P8.- REGLA DE LA CADENA
[pic]
Demostración:
Si hacemos:
[pic]
Entonces se tendrá:
[pic]
P9.-[pic]
Demostración:
Aplicando regla de la cadena se tiene:
[pic]
P10.- [pic]
Demostración:
Tomando logaritmos en base b, en ambos miembros de la igualdad se tiene una proposiciónverdadera.
Efectivamente: [pic]
P11. [pic]
Demostración:
[pic]




PROBLEMAS RESUELTOS

1. Simplificar: [pic]
Solución.
[pic]


2. Dado el sistema:
[pic]Solución.
[pic]
Por lo tanto: [pic]


3. [pic]
Solución.
[pic]


4. Si: [pic]
Solución.
[pic]


[pic]


5. Determine la...