logica usm chile

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a

Coordinaci´n de Matem´tica I (MAT021)
o
a
1er Semestre de 2011
Hoja de Trabajo “L´gica”
o

1. Exprese las siguientes proposiciones utilizando los s´
ımbolos matem´ticos y l´gicos usuales:
a
o
a) Si el doble de cuatro es cinco entonces el cuadrado de cuatro es uno.
b) El cuadrado de tres es nueve y esmenor que dos.
c) Cinco es mayor que cero o menor que cero.
2. Construya la tabla de la verdad de las siguientes proposiciones:
a) (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)
c) p ∧ [(q ∨ r) ∧ (q ∧ r)]

b) [p ∨ (q ∧ r)] ∨ [(q ∧ p) ∨ (r ∧ q)]
d) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∨ q)

3. Demuestre las siguientes tautolog´ o teoremas l´gicos usando los siguientes dos m´todos:
ıas
o
e
verdad b) equivalencias l´gicas:
o

a)tablas de

a) {[p ⇒ (q ⇒ p)] ∧ [(p ⇒ q) ⇒ q]} ⇐⇒ (p ∨ q)
b) {[(p ∨ q) ∧ (q ∨ r)] ∧ (p ∧ r)} ⇐⇒ F
c) {[(p ∧ q) ⇒ r] ∧ [(r ∨ s) ∧ s]} ⇒ (p ∨ q)
d) p ∧ q ⇒ p
e) [(p ⇐⇒ q) ∧ (q ⇐⇒ r)] ⇒ (p ⇐⇒ r)
f ) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q
g) (p ⇒ p) ⇒ p
h) (p ∧ q ⇒ q) ⇒ (p ⇒ q)
i ) (p ∧ q) ⇒ [(p ∨ q) ⇐⇒ (p ⇐⇒ q)]
4. Demuestre sin usar tablas de verdad.
a) (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ⇐⇒ q)
b) [(p ∧ q) ∨ (p ∧ q)] ⇐⇒ (p ⇐⇒q)
c) [((p ∨ q) ⇒ r) ∧ (r ⇒ (s ∨ t)) ∧ (s ∧ u) ∧ (u ⇒ t)] ⇒ p
d ) (p ⇒ q ∧ r) ⇒ (p ⇒ q)
e) (p ⇒ q) ⇒ (p ∧ r ⇒ q ∧ r)
f ) [(p ∨ r) ⇒ q] ⇒ (p ⇒ q)
g) (p ∧ q) ⇒ (p ∧ q)
h) (p ∨ (p ∧ q)) ⇐⇒ p
5. Encuentre una expresi´n l´gica equivalente que s´lo utilice los conectivos negaci´n, ∨, ∧ de las siguientes
o o
o
o
expresiones:
a) [(p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)] ⇐⇒ (p ⇐⇒ q)
c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s)b) (p ⇐⇒ q ⇐⇒ r)
d) (p ⇐⇒ q) ⇒ (p ∧ q)

6. Simplificar las proposiciones:
a) p ∧ (q ∧ p)
d) (p ⇒ q) ∨ p

b) (p ∧ q) ∨ q
e) p ∧ (q ⇒ p)

c) p ⇒ [q ⇒ (p ⇒ q)]
f ) [p ∨ (q ⇒ p)] ⇒ q

g) (p ⇐⇒ q) ∨ p
j) (p ⇐⇒ q) ∧ p

h) (p ⇐⇒ q) ∨ q
k) (p ⇒ q) ∨ q

i) [(p ⇒ q) ∧ (p ∨ q)]
l) p ⇒ (q ∨ p)
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Departamento de Matem´tica
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7. Si p∧ q es V y q ∧ r es F, determinar el valor de verdad de (r ∨ q) ⇒ (r ∧ q).
8. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la proposici´n compuesta:
o
{[(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ∨ r)] ∧ [p ⇒ (q ∧ r)]}

es V.

9. Si p ∧ q ⇒ r es F, determinar el valor de verdad de: (p ∨ q) ⇐⇒ (r ∨ p).
10. Si p es V, q es V y r es F, hallar el valor de verdad de
[(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)] ∧(r ⇒ q)
11. Si la proposici´n p ⇒ q es falsa, ¿Cu´l es el valor de verdad de la proposici´n p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ r) ∧ q?
o
a
o
12. Demuestre que el siguiente razonamiento es incorrecto:
* Si el Sr. Ram´
ırez es capaz, entonces tendr´ un puesto importante en su empresa.
a
* El Sr. Ram´
ırez es el sub-gerente de su empresa.
** Por lo tanto, el Sr. Ram´
ırez es capaz.
13. En los siguientesproblemas, determine la validez de los razonamientos:
a) Si Juan bebe cerveza, tiene al menos 18 a˜os.
n
Juan no bebe cerveza.
Por lo tanto, Juan no tiene a´n 18 a˜os.
u
n
b) Si las ni˜as son rubias, entonces son populares entre los ni˜os.
n
n
Las ni˜as feas no son populares entre los ni˜os.
n
n
Las ni˜as intelectuales son feas.
n
Por lo tanto, las ni˜as rubias no sonintelectuales.
n
c) Si estudio entonces no reprobar´ este curso.
e
Si no juego a los naipes muy seguido, entonces estudiar´.
e
Reprob´ este curso.
e
Por lo tanto, jugu´ muy seguido a los naipes.
e
14. Convierta los siguientes argumentos en notaci´n l´gica y luego determine su valor de verdad, entregando en
o o
cada caso una demostraci´n formal:
o
a) “Si estudio leyes entonces ganar´ mucho dinero.Si estudio arqueolog´ viajar´ mucho. Si gano mucho
e
ıa
e
dinero o viajo mucho no me decepciono. Por lo tanto, si estoy decepcionado no estudi´ leyes ni arqueoe
log´
ıa”.
b) “Si mis c´lculos son correctos y pago la cuenta de electricidad, me quedar´ sin dinero. Si no pago la
a
e
cuenta de electricidad, me cortar´n la corriente. Por lo tanto, si no me he quedado sin dinero y no me
a...