Logica

1.7. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES

1.7.1. PROPOSICIONES ABIERTAS Y FUNCIONES PROPOSICIONALES.

Considere el enunciado “Esta ciudad es la capital de Colombia”, ¿es verdadero o falso? En la forma como está expresado es evidente que no podemos afirmar nada acerca de su veracidad. El enunciado es una proposición verdadera si el nombre de la ciudad es “Bogotá” y sustituye alsujeto “Esta ciudad”. Si el sujeto se sustituye por el nombre de otra ciudad o cualquier otra palabra diferente a “Bogotá”, el enunciado es, evidentemente, una proposición falsa. El conjunto de nombres, por ejemplo de capitales, cuyos elementos son aquellos que se pueden reemplazar en el sujeto “Esta ciudad” se denomina conjunto universo, o conjunto de reemplazamiento, o bien, dominio de lavariable, observando que cualquier otra palabra diferente a “Bogotá” que se sustituya hace falsa la proposición. Una proposición con estas características, se conoce como proposición abierta.

El subconjunto de elementos del conjunto de reemplazamiento o universo que hacen verdadera la proposición, se denomina conjunto de verdad o conjunto solución de la proposición abierta. Para el ejemplo arribamencionado es el conjunto unitario {Bogotá}.

Ejemplo ilustrativo: Sea la proposición “x es un par menor que 10”, con x  N.
El conjunto universo o dominio de la variable es el conjunto de los números naturales, N. Al sustituir los elementos que hacen verdadera la proposición se tiene:
“2 es un par menor que 10” (V)
“4 es un par menor que 10” (V)
“6 es un par menor que 10” (V)
“8 esun par menor que 10” (V)

El conjunto {2, 4, 6, 8} es el conjunto de verdad de la proposición.


Una función proposicional de una variable es un enunciado que representa una proposición abierta de una variable. Se representan por p(x), q(x), r(x), etc.

Ejemplo ilustrativo: Se considera la proposición abierta , donde x  R.
El conjunto de verdad de la función proposicional p(x) sehalla mediante el siguiente proceso algebraico:
Factorizando la ecuación , tenemos , por lo tanto, x = – 4 o x = 1
Así el conjunto de verdad de la función proposicional p(x) es:
P = {x / p(x)} = {x  R / } = {– 4, 1}

Ahora se considera la función proposicional p(x): (x – 3)2 = x2 – 6x + 9, donde x  R. El conjunto de verdad de la función proposicional p(x) es verdadero paracualquier valor de R que se reemplace en la proposición. Algunos casos son:
p(0): (0 – 3)2 = (0)2 – 6(0) + 9
(–3)2 = 0 – 0 + 9
9 = 9

p(–2): (–2 – 3)2 = (–2)2 – 6(–2) + 9
(–5)2 = 4 – (–12) + 9
25 = 25

p(10): (10 – 3)2 = (10)2 – 6(10) + 9
(7)2 = 100 – 60 + 9
49 =49

p(¾): (¾ – 3)2 = (¾)2 – 6(¾) + 9
(–9/4)2 = (9/16) – (18/4) + 9
81/16 = 81/16
p(0.5): (0.5 – 3)2 = (0.5)2 – 6(0.5) + 9
(–2.5)2 = 0.25 – 3 + 9
6.25 = 6.25
p(–0.2): (–0.2 – 3)2 = (–0.2)2 – 6(–0.2) + 9
(–3.2)2 = 0.04 + 1.2 + 9
10.24 = 10.24

Así el conjunto de verdadde la función proposicional p(x) son todos los reales:
P = {x / p(x)} = {x  R / (x – 3)2 = x2 – 6x + 9} = R.


1.7.2. CUANTIFICADORES

1.7.2.1. Cuantificador Universal.

En una gran mayoría de situaciones matemáticas es interesante considerar la posibilidad de que el conjunto de verdad de una función proposicional sea la totalidad de los elementos del conjunto universo, llamado tambiénconjunto referencial (que se simboliza por U o R respectivamente), este se simboliza como x que se lee: “para todo x”, “todo x”, “para cada x” o “cada x” y se llama cuantificador universal. En este caso la proposición se simboliza como (x  U) p(x), que se lee: “para todo x elemento de U, se cumple p(x)”, y si el dominio de la variable está sobreentendido, se escribe simplemente (x)...