logica

SEMANA 11
CONTENIDO
1. Diagramas de Venn. Universo y complemento
a. Conceptos
b. Representación
c. Terminología
OBJETIVOS
Al finalizar el contenido de esta semana, el estudi
ante estará en capacidad de:
1. Utilizar diagramas de Venn.
2. Trabajar con subconjuntos.
3. Realizar operaciones entre conjuntos utilizando
su complemento.
Diagramas de Venn y subconjuntos
En cadaproblema existe, a sea de forma explícita o
implícita, un
universo del
discurso
. Dicho universo incluye todos los objetos en consi
deración en un
momento dado. Por ejemplo, si se pretendiera estud
iar las reacciones a la
propuesta de que en cierto campus universitario se
aumente la edad mínima
necesaria para comprar cerveza, el universo del dis
curso podría ser el de todos
losestudiantes del campus, los residentes cercanos
al campus, la junta directiva
o, quizás, todos estos grupos de personas.
Dentro de la teoría matemática de conjuntos, el uni
verso del discurso se conoce
como
conjunto universal
(o
conjunto universo
). Por lo general al conjunto
universal se le representa con la letra
U
. El conjunto universal podrá cambiar de
forma de unproblema a otro.
En la mayoría de las ramas de las matemáticas, dive
rsos tipos de dibujos y
diagramas nos resultan de mucha utilidad para expon
er o esclarecer nuestros
razonamientos. En la teoría de conjuntos comúnment
e utilizamos los
diagramas
de Venn
, desarrollados por el lógico John Venn (1834-1923)
. En estos
diagramas, el conjunto universal es representado po
r un rectángulo ylos demás
conjuntos relevantes dentro de este universo se rep
resentan mediante regiones
ovaladas o bien con círculos u otras
formas geométricas. En el diagrama
de Venn de la figura 1, toda la región
encerrada en el rectángulo representa
el conjunto universal
U
, mientras que
la parte encerrada en el óvalo
representa al conjunto
A
(el tamaño
del óvalo que representa alconjunto A
es irrelevante). El área sombreada
dentro de U y fuera del óvalo se
representa con
A
’ (se lee “
A
prima”).
Este conjunto llamado
complemento
A
’
U
A
Figura 1
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de
A
, contiene todos los elementos de
U
que no están contenidos en
A.
El complemento de un conjunto
Para cualquier conjunto
A
dentro del conjunto universal
U
, el
complemento
de
A,
designado como
A
ȼ
, es el conjunto de elementos de
U
que no son elementos de
A
. Esto es:
’
Y
|
[ \ ]
^
EJEMPLO 1
Sea
\ 
Y
_, M, , `, a, b, c, d
^
e 
Y
_, M, a, b
^
f 
Y
M, `, a, c, d
^
Encuentre cada uno de los siguientes conjuntos.
a.
M
’
El conjunto
M
’ contiene todos los elementos de
U
que no están en el conjunto
M.
Puestoque el conjunto
M
contiene a los elementos a, b, e, y f, dichos
elementos no podrán pertenecer al conjunto
M
’, por lo que el conjunto
M
’
estará compuesto
por los elementos c, d, g y h; esto es,
M
’ = {c, d, g, h}.
b.
N
’
El conjunto
N
’ contiene todos los elementos de
U
que no están contenidos en
el conjunto
N
, por lo tanto
N
’ = {a, c, f}
Considereel complemento del conjunto universal, o
U
’. Para encontrar dicho
conjunto hay que seleccionar todos los elementos de
U
que no pertenecen a
U
.
Tales elementos no existen, por lo que no puede hab
er elementos en el conjunto
U
’. Esto significa que para todo conjunto universal
U, U
’ =
V
.
Ahora consideremos el complemento del conjunto vací
o; es decir,
V
. Dado queVg
=
Y
|
[ \ [ V
^
, y que el conjunto vacío carece de elementos, ento
nces todo
elemento del conjunto universal
U
cumple con la definición anterior. Por tanto,
para cualquier conjunto universal
U,
V
= U
’.
Suponga que tenemos el conjunto universal
U =
{1, 2, 3, 4, 5}, mientras que
A
=
{1, 2, 3}. Cada elemento de
A
también es elemento de
U
. Por esta...