logica

Fórmulas de cuantificación

Al final del capítulo anterior señalábamos la estrecha relación que hay entre la cuantificación universal y la proposición conjuntiva; y entre la cuantificaciónexistencial y la proposición disyuntiva. Con base en esa relación decidimos ahora representar la cuantificación universal con el mismo signo de la conjunción y la cuantificación existencial con el mismo signode la disyunción. Así, "de todo x se dice que x es bueno" será ""; y "existe al menos un x tal que x es bueno" será por su parte "". Con esto nos aseguramos de que las cuasi-proposicionescuantificadas universalmente sean tratadas como verdades fuertes, de la misma manera que las partes de una conjunción; y de que las cuasi-proposiciones cuantificadas existencialmente sean tratadas como verdadesdébiles, de la misma manera que las partes de una disyunción.

Surge de inmediato la siguiente cuestión: en la conjunción "" o en la disyunción "" la "W" es una proposición atómica, la "U" también.En las fórmulas "" y "", por otra parte, sabemos que "( Wx )" es una cuasi-proposición atómica (llegará a ser una proposición al colocarse bajo la influencia del cuantificador). Pero, ¿qué es entonces"( x )"? Precisamente el signo de cuantificación. Por sí mismo no representa nada, pero al quedar dentro de la llave de conjunción precediendo a una cuasi-proposición convierte al todo en unaproposición universal. Algo parecido sucede si aparece como primer miembro dentro de la llave de disyunción, pero en este caso convierte a la cuasi-proposición en una proposición existencial. Así pues, lallave de conjunción con el signo "( x )" como primer miembro, "", representa el cuantificador universal que se lee: "para todo x se dice que"; de modo semejante, la llave de disyunción con el signo "( x)" como primer miembro, "", representa el cuantificador existencial, que se lee: "existe al menos un x tal que".

66. Apertura del cuantificador universal

Preguntémonos ahora si podemos...