Logica

Teoremas y demostraciones
jeremy theler

Con algo de demora y pidiendo las disculpas del caso al
editor y a los amigos lectores, llegamos a la prometida nota
sobre pruebas y demostraciones. En el lenguaje coloquial
suelen utilizarse estas dos palabras como sinónimos, y efectivamente uno puede encontrar en las publicaciones indistintamente “. . . con esto demostramos que. . . ” o “. . . conesto probamos que. . . ”. Y aunque a lo largo de años plagados
de arduos cursos de matemática, rigurosos libros de texto
e implacable profesores a la hora de corregir exámenes, se
me ha ocurrido que una demostración tiene más que ver con
lo estrictamente matemático mientras que una prueba puede
ser más general, la verdad es que finalmente es lo mismo una
prueba que una demostración. Estepatético prolegómeno no
es más que una excusa para hablar un rato sobre las relaciones de causa y efecto que la ciencia trata de buscar, y sobre
las falacias más comunes que debemos evitar a la hora de
razonar sobre un asunto.

Teoremas
Un teorema no es más que un simple enunciado que —
de ser posible— debería dar información sobre propiedades útiles, cosas que no son definitivamente posibles o—si
tenemos mucha suerte— simplificar un cálculo. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras que todos conocemos —además
de atormentar a los estudiantes más interesados en curvas
que en triángulos— facilita enormemente cálculos geométricos que a primera vista parecen muy complicados. Otros
teoremas —tal vez menos conocidos, como el de PoincaréBendixon— expresan que hay ciertas cosas que son sonposibles, por lo que nos ahorran adentrarnos en caminos que
no llevan a ningún lado. Por supuesto, existen otros teoremas que dicen que siempre es posible hacer algo aunque
no digan cómo hacerlo, siendo un ejemplo claro el teorema fundamental de la aritmética —utilizado justamente más
adelante— que afirma que siempre es posible expresar a
un número natural como producto de primos. Sobre teoremas quedan propiedades útiles podemos citar a todos los de
Cauchy —que para mejor confundir, ni siquiera están orde-

nados como “Quinto teorema de Cauchy. . . ”, sino que todos
se llaman “Teorema de Cauchy”— referidos al cálculo en
el plano complejo. Continuamente están siendo propuestos
nuevos teoremas para agregar a la vasta literatura matemática.
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. . .si me invento un enunciado
rítmicamente sincopado claramente
estoy lejos de inventar un teorema.
--------------------------------------Pero sucede que si me invento un enunciado rítmicamente
sincopado del orden de “Los ángulos interiores de un triángulo suman noventa grados” claramente estoy lejos de inventar un teorema. Lo primero que hay que decir es que
ese enunciado es falso, pues todossabemos que los ángulos interiores de un triángulo suman ciento ochenta grados1 .
En efecto, haga el escéptico lector el ejercicio de construir
un triángulo arbitrario y verificar que sus ángulos no suman
noventa grados. De esta manera, con sólo un ejemplo que
no cumple el enunciado que inventé hemos demostrado que
es falso. ¿Pero qué pasa con el que afirma que suman ciento ochenta? Sin tener encuenta una discusión —que quizás
realicemos en futuros artículos— sobre si la medición arroja como resultado 178, 180 ó 181 grados, el hecho de que el
enunciado sea verdadero para un triángulo dado no nos da
el derecho de afirmar que vale para cualquier triángulo.
De este último párrafo concluimos dos cosas. La primera es
que demostrar que algo es falso es mucho más fácil que demostrar quealgo es verdadero. Esto no debería asustarnos
si tenemos en cuenta que de todas las cosas que un objeto —matemático o no— puede ser, ciertamente es una sola,
mientras que no es muchas otras cosas. Mostrar que el cielo no es rojo o verde es más fácil que mostrar que es azul,
como dice la vieja copla, si es que en verdad es azul. La segunda —y más importante— es que no podemos demostrar
un...