logica

´
Indice general

Cap´
ıtulo 1. L´gica y Conjuntos
o
1.1. L´gica
o
1.1.1.
Proposiciones
1.1.2.
Conectivos l´gicos
o
1.1.3.
Tautolog´
ıas
1.1.4.
Funci´n proposicional y cuantificadores
o
1.2. Teor´ de Conjuntos
ıa
1.2.1.
Conjuntos, inclusi´n y pertenencia
o
1.2.2.
Operaciones entre conjuntos
1.2.3.
Cuantificando sobre conjuntos
1.2.4.
Producto de conjuntos

1
1
1
15
9
12
12
14
20
21

Bibliograf´
ıa

23

1

´
MODULO

1

L´gica y Conjuntos
o

PARTE 1.1

L´gica
o

Definici´n 1.1 (Proposiciones). En un intento por sistematizar el razonamiento matem´tico nace
o
a
lo que llamaremos l´gica. En l´gica se trabaja con frases o expresiones con “valor de verdad”que son
o
o
las llamadas proposiciones, estas pueden ser Falsas oVerdaderas, y normalmente las denotaremos
por las letras p, q, r.... Tambi´n veremos que es posible “conectar”proposiciones para construir otras
e
nuevas, a estas les llamaremos proposiciones compuestas.

Ejemplo:
p:“ La pizarra es negra”.
q:“ Este es el curso Matem´ticas III”.
a
r 3≥1
s :“Es temprano”.
t: “Tengo sue˜o”.
n
u :“Est´ nublado”.
a
v :“Est´ lloviendo”.
a
1.1.1.Proposiciones

Definici´n 1.2. Negaci´n: Dada una proposici´n p es natural definir la proposici´n opuesta, es
o
o
o
o
decir su negaci´n, por ejemplo para la proposici´n “Est´ lloviendo”, su negaci´n ser´ “No est´ lloo
o
a
o
a
a
viendo”, de manera que si una proposici´n es verdadera, entonces su negaci´n tendr´ valor de
o
o
a
1

1.1 L´gica
o

L´gica y Conjuntos
o

verdad falso, de estamisma manera, si la proposici´n es falsa, entonces su negaci´n ser´ verdadeo
o
a
ra. La negaci´n de la proposici´n p la denotaremos como ∼ p 1 y se lee como “no p”.
o
o

1.1.2.

Conectivos l´gicos
o

Tablas de verdad
Utilizaremos las tablas de verdad para representar los valores de verdad que tomar´ una proposici´n
a
o
compuesta, en funci´n de todos los posibles valores de verdadque pueden tomar las proposiciones en
o
juego, por ejemplo:
Tabla de verdad de la negaci´n
o
p

∼p

V

F

F

V

Notemos que a medida que la cantidad de proposiciones en juego aumenta, el tama˜o de la tabla de
n
verdad es tan grande como 2n , donde n es el n´mero de proposiciones.
u
Una variable proposicional (p)
p
V
F
Dos variables proposicionales (p, q)
p

q

V

VV

F

F

V

F

F

Tres variables proposicionales (p, q, r)

2

L´gica y Conjuntos
o

1.1 L´gica
o

p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Definici´n 1.3. Y l´gico o de conjunci´n:Dada dos proposiciones p y q, podemos construir
o
o
o
la proposici´n p ∧ q que se lee “p y q”,esta proposici´n ser´ verdadera siempre y cuando ambas
o
o
a
proposiciones son verdaderas de manera simult´nea, por ejemplo, a partir de las proposiciones
a
“Est´ lloviendo” y “Tengo hambre”, podemos formar la proposici´n “Est´ lloviendo y tengo hama
o
a
bre” que ser´ verdadera, siempre y cuando ambas proposiciones sean verdaderas.
a
Tabla de verdad
p

q

p∧q

V

V

V

VF

F

F

V

F

F

F

F

Definici´n 1.4. O l´gico o disyunci´n:Dada dos proposiciones p y q, podemos construir la
o
o
o
proposici´n p ∨ q que se lee “p o q”, esta proposici´n ser´ verdadera solo si al menos una de
o
o
a
las proposiciones, ya sea p o q o ambas son verdaderas, por ejemplo, a partir de las proposiciones “Est´ lloviendo” y “Tengo hambre”, podemos formar laproposici´n “Est´ lloviendo o tengo
a
o
a
hambre”, para que esta proposici´n sea verdadera basta que al menos una de las dos, ya sea
o
“Est´ lloviendo” o “Tengo hambre” sea verdadera.
a
Tabla de verdad
p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F
3

1.1 L´gica
o

L´gica y Conjuntos
o

Definici´n 1.5. Implicaci´n:Dada dos proposiciones p y q, podemos...