logica

Ejercicios de combinatoria resueltos. Matemática Discreta. 4º Ingeniería Informática
José Manuel Ramos González
1. Un número telefónico consta de siete cifras enteras. Supongamos que la
primera cifra debe ser un número entre 2 y 9, ambos inclusive. La segunda y
la tercera cifra deben ser números entre 1 y 9, ambos inclusive. Cada una de
las restantes cifras es un número entre 0 y 9,ambos inclusive. ¿Cuántos
números de teléfono distintos pueden formarse con estas condiciones?
SOLUCIÓN:
Para la primera cifra tenemos 8 casos. Para la segunda y tercera juntas son RV9,2
y las restantes serán RV10,4.
En consecuencia el número de teléfonos es 8.9
2
.10
4
= 6.480.000
2. Una empresa produce cerraduras de combinación. Cada combinación consta
de tresnúmeros enteros del 0 al 99, ambos inclusive. Por el proceso de
construcción de las cerraduras cada número no puede aparecer más de una
sola vez en la combinación de la cerradura. ¿Cuántas cerraduras diferentes
pueden construirse?

SOLUCIÓN:
Una posible combinación sería 1, 23, 87 que sería distinta de 23, 1, 87, por lo que
importa el orden. Por otra parte nos dicen que cada número nopuede aparecer más
de una sola vez, por lo que no hay repetición.
Se trata de V100, 3 = 100.99.98
3. El consejo directivo de una empresa informática tiene 10 miembros. Se ha
programado una próxima reunión de accionistas para aprobar una nueva lista
de ejecutivos (elegidos entre los 10 miembros del consejo). ¿Cuántas listas
diferentes, formadas por un presidente, un vicepresidente, unsecretario y un
tesorero, pueden presentar el consejo a los accionistas para su aprobación?Si
tres miembros del consejo son ingenieros en informática ¿cuántas de las
anteriores listas tienen:
a) un ingeniero propuesto para la presidencia?
b) exactamente un ingeniero en la lista?
c) al menos un ingeniero en la lista?
SOLUCIÓN:
Llamemos a los miembros 1,2,3,..., 10
Una listasería 1,2,3,4 otra sería 4,5,3,1 donde el orden importa ya que el primero
sería el presidente, el segundo el vicepresidente, el tercero el secretario y el cuarto el
tesorero, es decir que la lista 1,2,3,4 no sería la misma que la 4,3,2,1 ya que el primer
caso el presidente sería 1 y en el segundo sería 4. Obviamente no hay repetición.
Así pues el número de listas es V10,4= 10.000.
a) Si tresmiembros del consejo son ingenieros. ¿En Cuántas listas hay un ingeniero
propuesto para la presidencia?
Fijamos el presidente (3 casos) y variamos a los restantes. Tendríamos entonces
3.V9,3 = 3.9.8.7 Ejercicios de combinatoria resueltos. Matemática Discreta. 4º Ingeniería Informática
José Manuel Ramos González
b) En cuantas listas hay exactamente un ingeniero.
Tenemos 3 ingenierospara 4 posiciones y los 7 miembros restantes los variamos
de 3 en 3
4.3.V7,3
c) En cuantas listas hay por lo menos un ingeniero.
Calculamos todas las que no tienen ningún ingeniero y las restamos del total, es
decir
V10,4 – V7,4
4. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 7 se forman números de cinco cifras que no tengan
ninguna repetida.a) ¿Cuántos números se pueden formar? b) ¿Cuántos deellos son
múltiplos de 4 y cuántos son múltiplos de 2?
SOLUCION:
a) Importa el orden y no hay repetición V6,5 = 6.5.4.3.2 = 720
b) Son múltiplos de 4 los que acaban en 12, 24, 32, 44, 52, 72. El caso 44 no nos
vale por haber repetición.
Acaban en 12 V4,3 = 4.3.2. = 24. Por tanto los múltiplos de 4 son 5.24=120.
Como hay 720 casos, acaban en una cifra concreta de las 6, 720/6 = 120y como
para ser pares tienen que acabar en 2 o 4, el número de pares que hay es 240.
5. Un profesor del Departamento de Computación tiene siete libros de programación
diferentes en una estantería. Tres de los libros son de FORTRAN y los otros cuatro de
PASCAL. ¿De cuántas formas puede ordenar el profesor estos libros si:
a) no hay restricciones?
b) los lenguajes se deben alternar?...