logica

Cap¶³tulo 1
Introducci¶on a la l¶ogica
matem¶atica y a la teor¶³a de
conjuntos
1.1. Introducci¶on
En el ¶algebra actual tiene importancia y muy especialmente en el c¶alculo
que se efect¶ua con procesadores electr¶onicos, el an¶alisis del lenguaje desde
un punto de vista l¶ogico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomar
formas complicadas, pero el an¶alisis de sus partes ofrece laalternativa de
desentra~nar la esencia de la l¶ogica de las formas expresivas m¶as complejas.
En estas notas, que no pretenden ser m¶as que una introducci¶on, no ten-
dr¶³a sentido extenderse en la consideraci¶on de los problemas de la l¶ogica
matem¶atica sobre los cuales el lector interesado podr¶a consultar obras de
buen nivel indicadas en la bibliograf¶³a.
Aqu¶³ nos interesaremos en un tipoespecial de proposiciones como por ejem-
plo 5 es un n¶umero, los caballos son negros, x2 es siempre positivo para
todo real x; : : : notemos que a estas expresiones se les puede asignar un
valor, seg¶un sean verdaderas o falsas. Quedar¶an exclu¶³das de nuestra con-
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Luis Zegarra A. Introducci¶on a la l¶ogica matem¶atica y a la teor¶³a de conjuntos 2
sideraci¶on, expresiones tales como:Abre la ventana, Estudia con dedicaci¶on,
...
1.2. Elementos de l¶ogica
Proposici¶on. Una proposici¶on es una expresi¶on de la cual se puede decir
siempre si es verdadera o es falsa (V o F).
Por tanto, se dice que las proposiciones son bivalentes, conviene observar que
no compete a la l¶ogica establecer el valor de verdad de las proposiciones, es
decir, se considerar¶an las proposicionessimples con su valor ya asignado.
Notaci¶on. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediante
las letras: p; q; r; : : :
Convenci¶on. Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posi-
bles proposiciones del lenguaje como conjunto universo, si p pertenece a U,
se denotan por p 2 U.
Conectivos o s¶³mbolos. Ocuparemos los siguientes s¶³mbolos, llamados
tambi¶en conectivosl¶ogicos
» : Negaci¶on
^ : Conjunci¶on
_ : Disyunci¶on
) : Implicaci¶on
, : Doble implicaci¶on
_ : Disyunci¶on excluyente
Antes de de¯nirlos rigurosamente, es conveniente que el lector considere los
siguientes comentarios.
Luis Zegarra A. Introducci¶on a la l¶ogica matem¶atica y a la teor¶³a de conjuntos 3
La relaci¶on que establece la conjunci¶on \y"simb¶olicamente por \^.entre dosproposiciones en el lenguaje com¶un es perfectamente clara, es decir, no da
lugar a ninguna ambiguedad.
Por ejemplo, consideramos las proposiciones el 5 es un n¶umero (p), el caballo
es un animal (q), al decir el 5 es un n¶umero y el caballo es un animal (decimos
las dos cosas), esta relaci¶on se simboliza en l¶ogica: p ^ q.
La relaci¶on ^ permite de¯nir una operaci¶on algebraica entre proposiciones,en rigor
p 2 U y q 2 U es (p ^ q) 2 U:
En cambio, la relaci¶on establecida entre dos proposiciones por la disyunci¶on
o, ya no es tan clara. En efecto, si analizamos un poco veremos que, en el
lenguaje corriente no tiene signi¯cado preciso y ¶unico.
Por ejemplo, si consideramos el s¶abado ir¶e al cine o al estadio, para cualquiera
resulta claro que si voy a un lugar no ir¶e al otro, esdecir, que una de las
acciones que realizar¶e excluye la otra.
Si en cambio se dice, regalar¶e los zapatos viejos o los zapatos negros, se
entiende que los zapatos que regalar¶e son los viejos y tambi¶en los negros
(aunque no sean viejos). El o no es en este caso excluyente.
Si en ambos casos se comprende lo que se quiere decir, es por el sentido
general de la frase, pero desde el punto de vistal¶ogico s¶³ nos preocupamos
exclusivamente en su valor de verdad o falsedad es claro que hay dos inter-
pretaciones diferentes para la relaci¶on establecida entre proposiciones por
o.
En forma simb¶olica, entonces, consideramos _ para el o excluyente y _ para
el o inclusivo.
Dada una proposici¶on p, simbolizamos mediante » p la negaci¶on de esta
proposici¶on.
Por ejemplo, si p es: el 6...