Logica

Apuntes sobre derivada compleja


Incremento en z: z (plano Z) ������0 = 1 + 2������, puede tener un incremento de  = 0.01 + 0.1������, con módulo “pequeño” ∆������ ∆������ = 0.012 + 0.12 = 0.1004987 y ángulo ������ = tan−1 (0.1/0.01) = 84.3° y se tiene ������0 +  = 1.01 + 2.1������. También puede tener un incremento de cualquier otro complejo ∆������ de módulo pequeño con cualquier ángulocomo se muestra en la tabla,
z = x +yi 0.01 + 0.1i -0.1 + 0.02i -0.06 - 0.05i 0.3 – 0.3i 0.01 (con y = 0) -0.1i (con x = 0) |z| 0.1004987 0.1019804 0.0781024 0.4242641 0.01 0.1 Fase de z 84.3° 168.68° -140.19° -45° 0° -90° x0 + x + i(y0 + y) (1 + 0.01) + i(2 + 0.1) (1 - 0.1) + i(2 + 0.02) (1 - 0.06) + i(2 – 0.05) (1 + 0.3) + i(2 – 0.3) (1 + 0.1) + 2i 1 + (2 – 0.1)i z0 + z 1.01 + 2.1i0.9 + 2.02i 0.94 + 1.95i 1.3 + 1.97 i 1.01 + 2i 1 + 1.9i

Note que como ∆������ = ∆������ + ������∆������, hay un número infinito de incrementos ∆������ en diferentes direcciones alrededor de ������0. En general un punto fijo ������0 = ������0 + ������������0, puede incrementarse con un complejo de módulo “pequeño” y de cualquier ángulo: = ∆+ ������  Reiteramos, hay un número infinito de ������������ ∆������. incrementos alrededor de z0. ¡Imagínelos! x y z0 + z  iy z x 0 z y iy z z0 + z y z z0 z0 z x 0 x z ������0 = ������0 + ������������0, ∆������ = ∆������ + ������∆������, 0 x z0 z0 + z

������0 + ∆������ = (������0 + ∆������) + ������(������0 + ∆������) Para cualquier complejo ������ = ������ + ������������ fijo tenemos, ������ = ������ + ������������, ∆������ =∆������ + ������∆������

������ + ∆������ = (������ + ∆������) + ������(������ + ∆������)

Incremento en ������: ∆������ (Plano W) Considere una función ������ = ������ ������ = ������ ������, ������ + ������������(������, ������) definida en una región que contiene a ������0 = ������0 + ������������0 y ������0 + ∆������ = (������0 + ∆������) + ������(������0 + ∆������), se define el incremento en������ = ������(������) cuando z cambia de ������0 a ������0 + ∆������, con la expresión, ∆������ ������0, ������0 = ∆������ ������0, ������0 + ������∆������ ������0, ������0 = ������ ������0 + ∆������ − ������ ������0

Plano Z z0+z x y z iy z0 z0 + z  z0 iy z x 0

w  w0 =f(z0) u w0

Plano W w0 + w = f(z0 + z) v iv w0 + w w iv

x

0

u

u

Donde,∆������(������0, ������0) = ������ ������0 + ∆������, ������0 + ∆������ − ������(������0, ������0), ∆������(������0, ������0) = ������ ������0 + ∆������, ������0 + ∆������ − ������(������0, ������0), Ejemplo 1 Si ������ ������ = sin⁡ (z), ������0 = 1 + 2������, ������ ∆������ = 0.001 − 0.002������ ∆������ ∆������ ∆������ ∆������ ∆������ = ������ ������0 + ∆������ − ������ ������0 = sin⁡������0 + ∆������ − sin⁡������0 =sin⁡1 + 2������ + 0.001 − 0.002������ − sin⁡1 + 2������ = sin⁡1.001 + 1.008������ − sin⁡1 + 2������ = −0.0040702404191192976 − 0.0071080791247288833j ■

Se puede calcular usando sus partes reales e imaginarias ������0 = ������0 + ������������0 = 1 + 2������, ������ ∆������ = ∆������ + ������∆������ = 0.001 − 0.002������ ������ ������ = sin ������ = sin ������ + ������������ = sin ������ cosh������ + ������cos⁡ (������)sinh⁡ (������) ������ ������, ������ = sin ������ cosh ������ y ������ ������, ������ = cos ������ sinh⁡ (������)

∆������(������0, ������0) = ������ ������0 + ∆������, ������0 + ∆������ − ������(������0, ������0), ∆������(������0, ������0) = sin⁡������0 + ∆������)cosh⁡ + ∆������ − sin⁡ (������0 (������0)cosh⁡ (������0) ∆������(1,2) = sin⁡1 + 0.001)cosh⁡ − 0.002 − sin⁡ (2 (1)cosh⁡(2)

∆������(1,2) = sin⁡1.001)cosh⁡ (1.998 − sin⁡ (1)cosh⁡ (2) ∆������ 1,2 = −0.0040702404191188535 De manera similar ∆������(1,2) = cos⁡1.001)sinh⁡ (1.008 − cos⁡ (1)sinh⁡ (2) ∆������ 1,2 = −0.0071080791247288833 Por lo que, obtenemos el mismo valor ∆������ 1,2 = −0.0040702404191188535 − 0.0071080791247288833������ ■ Razón o cociente de cambios, ∆������/∆������...