Logica

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ELEMENTOS DE LOGICA
´ DE CONJUNTOS
Y TEORIA
Dra. Patricia Kisbye
Dr. Alejandro L. Tiraboschi

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INTRODUCCION
Estas notas han sido elaboradas con el objetivo de ofrecer al ingresante a las carreras de la
FaMAF un curso introductorio a la l´ogica elemental y teor´ıa de conjuntos. Los temas abarcados
son, a grandes rasgos, nociones b´asicas de conjuntos, operaciones entre conjuntos yproducto
cartesiano; proposiciones, conectivos l´ogicos y cuantificadores. Gran parte de los contenidos y
ejercicios han sido extra´ıdos de los primeros cap´ıtulos de nuestras notas Elementos de L´ogica y
Computaci´on, Trabajos de Inform´atica, No. 1/99.
Cada cap´ıtulo contiene un desarrollo te´orico, variados ejemplos y una completa lista de
ejercicios de aplicaci´on.
Alejandro Tiraboschi
PatriciaKisbye

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Indice
general
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Cap´ıtulo 1. LOGICA

7

1. Proposiciones

7

2. Conectivos l´ogicos

8

3. Negaci´on

8

4. Conjunci´on

9

5. Disyunci´on

10

6. Propiedades de la conjunci´on y la disyunci´on

11

7. Ejercicios

12

Cap´ıtulo 2. OTROS CONECTIVOS

15

1. Condicional o implicaci´on

15

2. Bicondicional o doble implicaci´on

16

3. Reglas de precedencia para los conectivos l´ogicos

17

4.Ejercicios

18

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Cap´ıtulo 3. TEOR´IA BASICA
DE CONJUNTOS

21

1. Conjuntos y pertenencia

21

2. Subconjuntos

24

3. El conjunto Universal

27

4. Diagramas de Venn

28

5. Ejercicios

28

Cap´ıtulo 4. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

33

1. Uni´on de conjuntos

33

2. Intersecci´on de conjuntos

34

3. Complemento de un conjunto

35

4. Diferencia de conjuntos

36

5. Ejercicios

38

Cap´ıtulo 5.CUANTIFICADORES

41

1. Funciones proposicionales

41

2. Cuantificadores

42
5

´INDICE GENERAL

6

3.

Negaci´on de cuantificadores

43

4.

Ejercicios

44

Cap´ıtulo 6. PRODUCTO CARTESIANO

45

1.

Pares ordenados y producto cartesiano

45

2.

Representaci´on en ejes cartesianos

46

3.

Ejercicios

49

CAP´ıTULO 1

´
LOGICA
Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimiento es elproceso de razonamiento.
A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos
a favor de una conclusi´on. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen
ciertas premisas, entonces la conclusi´on se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los
ha denominado deductivos y forman el objetivo central de lo que cl´asicamente se ha denominadol´ogica.
En un sentido amplio, el t´ermino l´ogica hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido estricto ha estado circunscripto al estudio del razonamiento deductivo.
Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la l´ogica proposicional. Lo que caracteriza
a la l´ogica proposicional es que toma como unidades b´asicas a las proposiciones y que tiene en
cuenta c´omo secombinan entre ellas por medio de conectivos l´ogicos para formar argumentos
v´alidos.
En este cap´ıtulo trataremos el concepto de proposici´on l´ogica, valor de verdad, y los conectivos l´ogicos principales para construir nuevas proposiciones,

1. Proposiciones
Una proposici´on es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Tambi´en podr´ıamos decir que unaproposici´on es una sentencia que expresa una
propiedad para un individuo o ente, o que expresa la validez de una relaci´on entre individuos o
entes. Algunos ejemplos de proposiciones son:
Hoy es s´abado.
Los tri´angulos tienen cuatro v´ertices.
25 + 24 = 49.
Juan va al trabajo en tren .
Las sentencias exclamativas, las interrogativas y las imperativas tales como:
¡Viva la patria!,
¿Est´a lloviendo?Oprima la tecla ENTER
no son proposiciones puesto que no pueden ser declaradas como verdaderas o falsas.
7

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1. LOGICA

8

La veracidad (V) o falsedad (F) de una proposici´on se llama valor de verdad de la proposici´on y viene dada por alg´un criterio independiente de la proposici´on.
Algunas proposiciones parecieran tener distintos valores de verdad seg´un el caso. Por ejemplo, si decimos:...