LOGICA

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente ricacomo para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: numeros funciones y figuras geométricas, y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, nosólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrable o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo históricode la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas puras del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind"Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por GottlobFrege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Erns.





Notación:
La notación la podemos realizar de la siguiente manera: El conjunto formado por los cinco primeros números naturales A={2,4,6,8,10} se lee: A es el conjunto formado por los elementos 2,4,6,8,10 B= {m,n,r,o,p} se lee: B es conjunto formado por los elementos m,n,r,o,p” C= {sódio, lítio, potasio} se Lee C es conjunto formadopor los elementos químicos, sódio, lítio, potasio. Los elementos siempre se separan por comas o puntos y comas, y son encerrados entre llaves ({ }). Los conjuntos siempre se denotan o son representados por letras Mayúsculas como A, B, C, D Si en un conjunto se repite el mismo elemento se considera solo una vez. E
Tipos de Conjuntos
Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrarsu último elemento
Ejemplo: M={x/x es mes del año}
Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar su último elemento
Ejemplo: M={x/x es número natural}
Porque no sabemos que cual es el último mes es el último número
Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia
Ejemplo: U={x/x es un animal}
A={x/x es un mamífero}B={x/x es un reptil}


Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: {*}
Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.
Conjunto de números impares múltiplos de 2.
Conjunto unitario:
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses delaño que tiene menos de reinta días, solamente febrero pertenece a dicho conjunto.
Conjuntos disjuntos: Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:
{x/x es un número natural}
{x/x es un día de la semana}
Son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.









Conjunto de las partes de unconjunto:
Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).
Ejemplo: Dado el conjunto: A= {a,b,c,d.}
Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c}, T={a,d}, U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El conjunto de las partes de...