Longitud de Arco de Meridiano

PΓ‘ginas: 14 (3399 palabras) Publicado: 16 de septiembre de 2015
Longitud de Arco de Meridiano.
A
ds
B

?

𝑑𝑠 = πœŒπ‘‘πœ‘
𝑏

𝑠 = ∫ πœŒπ‘‘πœ‘
π‘Ž

𝜌=

𝑑𝑠 =
πœ‘

𝑠 = π‘Ž(1 βˆ’ 𝑒

2)

∫
0

π‘Ž(1 βˆ’ 𝑒 2 )
(1 βˆ’ 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘) )3/2

π‘Ž(1 βˆ’ 𝑒 2)
π‘‘πœ‘
(1 βˆ’ 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑦) )3/2

π‘‘πœ‘
(1 βˆ’

𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘)3/2

Para resolver esta integral, primero hay que desarrollar (1 βˆ’ 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘)βˆ’3/2 utilizando la serie binomial de
Newton, cuya fΓ³rmula es:
π‘šπ‘₯

(1 + π‘₯)π‘š = 1 +

1!

+

π‘š(π‘šβˆ’1)
2!

π‘₯2 +

π‘š(π‘šβˆ’1)(π‘šβˆ’2)
2!

π‘₯3 + β‹―+

π‘š(π‘šβˆ’1)(π‘šβˆ’2)…(π‘šβˆ’π‘›+1)
𝑛!

π‘₯𝑛

Evaluando tenemos:
(1 βˆ’ 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘)βˆ’3/2 =
3

(1 +

(βˆ’2)
1!

3

3
5
7
9
(βˆ’2)(βˆ’2)(βˆ’2)(βˆ’2)

5

(βˆ’2)(βˆ’2)

(βˆ’π‘’ 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘ ) +

2!

(βˆ’π‘’ 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘ )2 +

3

5

7

(βˆ’2)(βˆ’2)(βˆ’2)
3!

(βˆ’π‘’ 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘ )3 +

(βˆ’π‘’ 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘ )4 + β‹―

4!

(1 βˆ’ 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘)βˆ’3/2 = (1 +

3
2

𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘ +

15
8

𝑒 4 𝑠𝑒𝑛4 πœ‘ +

35
16

𝑒 6 𝑠𝑒𝑛6 πœ‘ +

315
128

𝑒 8 𝑠𝑒𝑛8 πœ‘ + β‹―

Sustituyendo
πœ‘

πœ‘

πœ‘

πœ‘

3
15 4
35 6
𝑠 =π‘Ž(1 βˆ’ 𝑒 2 )[ ∫ π‘‘πœ‘ + 𝑒 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 πœ‘ π‘‘πœ‘ +
𝑒 ∫ 𝑠𝑒𝑛4 πœ‘ π‘‘πœ‘ +
𝑒 ∫ 𝑠𝑒𝑛6 πœ‘ π‘‘πœ‘
2
8
16
0

πœ‘

+

0

0

0

315 8
𝑒 ∫ 𝑠𝑒𝑛8 πœ‘ π‘‘πœ‘ + β‹― ]
128
0

De acuerdo con Mena (2008) citando a Bass, para resolver estas integrales se utiliza la expresiΓ³n de la
integral de Wallis.

1

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ’ 𝑛 cos π‘₯ 𝑠𝑒𝑛 π‘₯ +

π‘›βˆ’1
𝑛

∫ π‘ π‘’π‘›π‘›βˆ’2 π‘₯ 𝑑π‘₯

Resolviendo integral por integral tenemos:
∫ Ο† dΟ† = Ο†
∫ 𝑠𝑒𝑛 2 Ο† dΟ† = βˆ’

1
1
sen φcosφ +
Ο†
22

1
3
1
3
1
1
𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† + ∫ 𝑠𝑒𝑛 2 Ο† dΟ† = βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† + (βˆ’
sen φcosφ +
Ο†)
4
4
4
4
2
2
1
3
3
= βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† βˆ’
senφ cos φ +
Ο†
4
8
8

∫ 𝑠𝑒𝑛 4 Ο† dΟ† = βˆ’

1
5
𝑠𝑒𝑛 5 Ο† cosΟ† + ∫ 𝑠𝑒𝑛 4 Ο† dΟ†
6
6
1
5
1
3
3
= βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 5 Ο† cosΟ† + (βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† βˆ’ sen Ο† cos Ο† + Ο†)
6
6
4
8
8
1
5
5
5
= βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 5 Ο† cosΟ† βˆ’
𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† βˆ’
senφ cos φ +
Ο†
6
24
16
16

∫ 𝑠𝑒𝑛 6 Ο† dΟ† = βˆ’

1
7
𝑠𝑒𝑛 7 Ο† cosΟ† + ∫ 𝑠𝑒𝑛 6 Ο† dΟ†
8
8
1
7
= βˆ’ 𝑠𝑒𝑛φ cosΟ†
8
7
1
5
5
5
+ (βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 5 Ο† cosΟ† βˆ’
𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† βˆ’
senφ cos φ +
Ο†)
8
6
24
16
16
1
7
35
35
= βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 7 Ο† cosΟ† βˆ’
𝑠𝑒𝑛 5 Ο† cosΟ† βˆ’
𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† βˆ’
senφ cos φ
8
48
192
128
35
+
Ο†
128

∫ 𝑠𝑒𝑛 8 Ο† dΟ† = βˆ’

Sustituyendo
3 2
1
1
15 4
1
3
𝑒 (βˆ’
sen φcosφ +
Ο†) +
𝑒 (βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† βˆ’
senφ cos φ
2
2
2
8
4
8
3
35 6
1
5
5
5
+
Ο†)+
𝑒 (βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 5 Ο† cosΟ† βˆ’
𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† βˆ’
senφ cos φ +
Ο†)
8
16
6
24
16
16
315 8
1
7
35
+
𝑒 (βˆ’π‘ π‘’π‘› 7 Ο† cosΟ† βˆ’
𝑠𝑒𝑛 5 Ο† cosΟ† βˆ’
𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ†
128
8
48
192
35
35
βˆ’
senφ cos φ +
Ο†) + β‹― ]
128
128
Finalmente tenemos:
πŸ‘
πŸ’πŸ“ πŸ’ πŸπŸ•πŸ“ πŸ” πŸπŸπŸŽπŸπŸ“ πŸ–
𝒔 = 𝒂(𝟏 βˆ’ π’†πŸ ) [ ( 𝟏 + π’†πŸ +
𝒆 +
𝒆 +
𝒆 )𝛗
πŸ’
πŸ”πŸ’
πŸπŸ“πŸ”
πŸπŸ”πŸ‘πŸ–πŸ’
πŸ‘ 𝟐 πŸ’πŸ“ πŸ’ πŸπŸ•πŸ“ πŸ” πŸπŸπŸŽπŸπŸ“ πŸ–
βˆ’(
𝒆 +
𝒆 +
𝒆 +
𝒆 ) π¬πžπ§π›— 𝐜𝐨𝐬 𝛗
πŸ’
πŸ”πŸ’
πŸπŸ“πŸ”
πŸπŸ”πŸ‘πŸ–πŸ’
πŸπŸ“ πŸ’ πŸπŸ•πŸ“ πŸ” πŸπŸπŸŽπŸπŸ“ πŸ–
βˆ’(
𝒆 +
𝒆 +
𝒆 ) 𝒔𝒆𝒏 πŸ‘ 𝛗 πœπ¨π¬π›—
πŸ‘πŸ
πŸ‘πŸ–πŸ’
πŸπŸ—πŸ“πŸ•πŸ”
πŸ‘πŸ“ πŸ”
πŸπŸπŸŽπŸ“ πŸ–
βˆ’(
𝒆 +
𝒆 ) 𝒔𝒆𝒏 πŸ“ 𝛗 πœπ¨π¬π›—
πŸ—πŸ”
πŸ”πŸπŸ’πŸ’
πŸ‘πŸπŸ“ πŸ–
βˆ’(
𝒆 ) 𝒔𝒆𝒏 πŸ• 𝛗 πœπ¨π¬π›— … ]
πŸπŸŽπŸπŸ’
𝑠 =π‘Ž(1 βˆ’ 𝑒 2 )[ Ο† +

Ejemplo:
Para el Elipsoide GRS80 calcular la longitud de arco de meridiano desde el Ecuador hasta un punto cuya
latitud es Ο•=19Β°30’
ParΓ‘metros GRS80
π‘Ž = 6378137
𝑓=

1
298.257222101
𝑏 = 6378137 βˆ’ (0.0033528107 βˆ— 6378137) = 6356752.314

𝑏 = π‘Ž βˆ’ (𝑓 βˆ— π‘Ž)
𝑒2 =

π‘Ž2 βˆ’ 𝑏 2
63781372 βˆ’ 6356752.3142
=
= 0.0066943801
2
π‘Ž
63781372

La latitud expresada en radianes
πœ‘ = 0.340339204
Resolviendo laecuaciΓ³n de sustituyendo valores
𝑆 = 6378137(1 βˆ’ 0.00669438) ( ( 1 +
+
βˆ’
+
βˆ’
+
βˆ’
βˆ’

3
45
0.00669438 +
0.00669438
4
64

2

+

175
0.00669438 3
256

11025
0.00669438 4 ) 0.340339204
16384
3
45
175
(
0.00669438 +
0.00669438 2 +
0.00669438 3
4
64
256
11025
0.00669438 4 ) (0.942641491)( 0.333806859)
16384
15
175
(
0.00669438 2 +
0.00669438 3
32
384
11025
0.00669438 4 ) (0.942641491)( 0.037195103)29576
35
2205
(
0.00669438 3 +
0.00669438 4 ) (0.942641491)( 0.004144539496)
96
6144
315
(
0.00669438 4 ) (0.942641491)( 0.0004618136823)
1024

𝑆 = 6335439.327((0.342058768582) βˆ’ (0.001589821206) βˆ’ (7.413565326 x 10βˆ’7 )
βˆ’ (4.3013348 x 10βˆ’10 ) βˆ’ (2.41365 x10βˆ’12 )) = 6335439.327 βˆ— 0.340468205587
= πŸπŸπŸ“πŸ•πŸŽπŸπŸ“. πŸ”πŸ“πŸ—
Sin embargo, dado que esta fΓ³rmula estΓ‘ en funciΓ³n de 𝑠𝑒𝑛 𝑛 Ο† cosΟ† y en virtud de que el labibliografΓ­a
existente, esta fΓ³rmula no es reportada, es factible de simplificarse mediante la consideraciΓ³n de las siguientes
identidades:
sen x cos π‘₯ =

1
2

sen 2x , 𝑠𝑒𝑛 2 x =

1
2

βˆ’

1
2

cos 2x , sen x cos 𝑦 =

1
2

[ sen (x βˆ’ y) + sen (x + y)]

Entonces aplicΓ‘ndolas sobre las funciones 𝑠𝑒𝑛 𝑛 Ο† cosΟ† tenemos lo siguiente.
a).-

1

sen φ cosφ =

sen 2Ο†

2

b).1

𝑠𝑒𝑛 3 Ο† cosΟ† = sen Ο†...
Leer documento completo

RegΓ­strate para leer el documento completo.

Estos documentos tambiΓ©n te pueden resultar ΓΊtiles

  • Longitud de arco

    ...TEMA : Longitud de Arco. 1. Hallar la longitud de arco que genera una cuerda de 360m, que gira alrededor de un punto fijo y describe un Γ‘ngulo de 30ΒΊ. a) 30[pic]m b) 40[pic]m c) 50[pic]m d) 60[pic]m 02. En la figura hallar L. [pic] 03. En la figura. Hallar β€œR” [pic] 04. Hallar la longitud del arco de un sector circular cuyo Γ‘ngulo central mide 45ΒΊ, sabiendo que la...

    Leer mΓ‘s
    1168 Palabras 5 PΓ‘ginas
  • longitud de arco

    ...ο»ΏLongitud de arco ΒΏQuΓ© se entiende cuando se habla de longitud de una curva?. Necesitamos una definiciΓ³n precisa para la longitud de un arco de curva, en los mismos terminos en que desarrollamos los conceptos de Γ‘rea y de volumen. Si la curva es un polΓ­gono, es fΓ‘cil determinar su longitud; simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polΓ­gono. (Para la...

    Leer mΓ‘s
    1216 Palabras 5 PΓ‘ginas
  • Longitud De Arco

    ...DESARROLLO RESPUESTA: ------------------------------------------------- LONGITUD DE ARCO Para explicar el tema, partiremos del siguiente anΓ‘lisis: I) L : longitud de la circunferencia AB : diΓ‘metro (AB = r + r = 2r) Desde la antigΓΌedad se conocΓ­a la siguiente relaciΓ³n: ; Es decir: De lo anterior se deduce que: L = 2Ο€r II) Ahora en el sistema radian; 1rad estΓ‘ determinado por un arco de la misma medida que...

    Leer mΓ‘s
    836 Palabras 4 PΓ‘ginas
  • Longitud de arco

    ...β€œCALCULO DE LONGITUD DE ARCO” La longitud de arco, tambiΓ©n conocida como rectificaciΓ³n de una curva, es la medida del camino recorrido o la distancia a lo largo de una curva o dimensiΓ³n lineal. Se llego a la conclusiΓ³n histΓ³ricamente que es difΓ­cil determinar esta longitud en segmentos irregulares; se llevaron acabo varios mΓ©todos para curvas especificas, la llegada del cΓ‘lculo trajo consigo la formula general para lograr...

    Leer mΓ‘s
    721 Palabras 3 PΓ‘ginas
  • longitud de arco

    ...LONGITUD DE ARCO 01. En la figura mostrada, OC = OD = r, OA = OB = R, mCOD = 1 radiΓ‘n, halle A) B) 1 C) D) E) 2 02. De la figura mostrada, determine el valor de: A) B) 1 C) 2 D) E) 3 03. Se tienen tres poleas de radio 1u, 2u y 3u respectivamente en un mismo plano, cuyos centros forman un triΓ‘ngulo equilΓ‘tero cuya longitud es 29u. AdemΓ‘s dichas poleas se encuentran conectadas por una...

    Leer mΓ‘s
    554 Palabras 3 PΓ‘ginas
  • Longitud de arco

    ...LONGITUD DE ARCO Calcular la longitud de arco o de una curva dada por una funciΓ³n f en un intervalo a ≀ x ≀ b , tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Es necesario que hagamos un breve estudio del cΓ‘lculo de ellas. Una aproximaciΓ³n es una lΓ­nea recta desde el punto x=a hasta el punto x=b , como se indica en la figura: Dado los incrementos en x y en y, entonces la longitud L (por el teorema de PitΓ‘goras), es: L = (...

    Leer mΓ‘s
    1474 Palabras 6 PΓ‘ginas
  • longitud de arco

    ...CD = 26. Halle el Ñrea del sector circular EOF. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 2. Se muestra sectores circulares concéntricos, donde S representa Ñrea, obtener x. si S = 8L² A) 2 L B) 4 L C) 5 L D) 6 L E) 8 L 3. Calcule la longitud de un arco en un sector circular cuyo Ñngulo central mide 1º y su radio mide 1800 cm. A) m B) m C) m D) m E) m 4. Una regadera instalada en un parque, tiene un alcance de 8 m y barre un Ñngulo...

    Leer mΓ‘s
    803 Palabras 4 PΓ‘ginas
  • Longitud De Arco

    ...la longitud de arco, tambiΓ©n llamada rectificaciΓ³n de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensiΓ³n lineal. HistΓ³ricamente, ha sido difΓ­cil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios mΓ©todos para curvas especΓ­ficas, la llegada del cΓ‘lculo trajo consigo la fΓ³rmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. MΓ©todos modernos Al considerar una curva...

    Leer mΓ‘s
    862 Palabras 4 PΓ‘ginas

OTRAS TAREAS POPULARES

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS