LONGITUD DE ARCO
Calcular la longitud de arco o de una curva dada por una función f en un intervalo a ≤ x ≤ b , tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Es necesario que hagamos un breve estudiodel cálculo de ellas.

Una aproximación es una línea recta desde el punto x=a hasta el punto x=b , como se indica en la figura: Dado los incrementos en x y en y, entonces la longitud L (por elteorema de Pitágoras), es:
L = ( ∆x ) 2 + ( ∆y ) 2 (1)

Ahora como se ve en la animación, la RECTA que es secante a la curva se vuelve recta tangente en un punto cuando ∆x → 0 .

Entonces podemosdeterminar que, la pendiente de la recta tangente es:
f ' ( x) = ∆y , ∆x

Despejando ∆y y reemplazando en (1), nos queda
L = ( ∆x ) 2 + ( ∆x f ' ( x )) 2

Factorizando ( ∆x ) 2 y extrayendo la raíz,tenemos
L = 1 + ( f ' ( x )) 2 ∆x

Siguiendo las sumas de Riemann, entonces tenemos que la longitud de curva de f (x ) en el intervalo a ≤ x ≤ b , esta dada por:

L=∫
Ejemplo:
f ( x) =

ba

1 + ( f ' ( x)) 2 dx

Calcular la longitud de la curva en el intervalo [0,4] de la función

4 2 32 x −1 3

Solución: Dada la integral para calcular la longitud de curva, entonces primero derivamos la función f (x )

f ' ( x) =
Simplificando y elevando al cuadrado,

4 2 3 12 * x , 3 2

( f ' ( x )) = ( 2 2 x 2 ) 2 = 8 x
2

1

Ahora sustituimos en la integral paracalcular la longitud

L = ∫ 1 + 8 x dx
0

4

Integrando por sustitución, queda

L=
Que es la longitud de la curva pedida.

2 3

A continuación veremos una aplicación de la longitud de curva enel cálculo del área de superficie de un sólido de revolución.

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION
Las superficies de revolución son aquellas que se generan haciendo girar una curva (una cuerda)alrededor de una recta Para calcular el área de una superficie de revolución generada al girar la recta azul alrededor del eje x se genera un tronco de cono circular recto cuya superficie lateral es:... [continua]

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