Calculo integral longitud de arco

1.3. Longitud de arco.
Definición. Sea C una curva suave definida paramétricamente por la función vectorial
f : ℜ → ℜn / f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) , , f n ( t ) ) en el espacio ℜn , con t ∈ [ a, b ] , que se

recorre exactamente una vez cuando t va desde a hacia b, entonces su longitud viene dada por

L=∫

b

a

 df1   df 2   dt  +  dt  +    

2

2

 df  + n  dt  dt 

2

Demostración. Sea C una curva suave en el espacio ℜ3 (aunque la demostración es
válida para el espacio ℜn ) definida en forma paramétrica por la función ˆ ˆ f : [ a, b ] → ℜ3 / f ( t ) = f1 ( t ) i + f 2 ( t ) ˆ + f3 ( t ) k . Si se divide el intervalo [ a, b ] del j parámetro t, en n subintervalos de igual longitud ∆t . Si se denota como t0 , t1 ,..., tn a los puntosextremos de estos subintervalos, entonces al tomar a xi = f1 ( ti ) , a yi = f 2 ( ti ) y a zi = f 3 ( ti ) como las coordenadas del punto Pi ( xi , yi , zi ) que se encuentran sobre la curva C, y si se define una línea poligonal con los vértices o puntos P0 , P ,..., Pn , que es 1 una aproximación o rectificación de la curva C, la longitud L de la curva C es aproximadamente igual a la longitud de estalínea poligonal y el error que se comete en la aproximación va a ir disminuyendo a medida que se aumenta el número de puntos Pi ubicados sobre la curva C. Por lo tanto, se puede definir la longitud de arco de la curva

C como el límite cuando n → ∞ de la suma de las longitudes de estas líneas poligonales
inscritas en la curva C:
n

L = Lim ∑ Pi −1 Pi
n →∞ i =1

C

Pi

Pi −1Figura 26. Curva C y línea poligonal.

En donde la notación Pi −1 Pi corresponde a la norma (longitud en el caso de ℜ3 ) del iésimo segmento rectilíneo de la línea poligonal (es decir, la distancia entre los puntos

Pi −1 y Pi ). Es conocido que esta longitud se determina a través de la siguiente
expresión:
Pi −1 Pi =

( xi − xi −1 ) + ( yi − yi −1 ) + ( zi − zi −1 )
2 2

2

Si se hace ∆xi= xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 y ∆zi = zi − zi −1 la expresión anterior queda como:
Pi −1 Pi =

( ∆xi ) + ( ∆yi ) + ( ∆zi )
2 2

2

Se sabe además, por la definición de la derivada de una función que se puede realizar la siguiente aproximación

f1 ' ( ti ) ≈

∆xi ∆t

f 2 ' ( ti ) ≈

∆yi ∆t

f 3 ' ( ti ) ≈

∆zi ∆t

Siempre que ∆t sea lo suficientemente pequeño. Por tanto, sepueden reescribir las expresiones anteriores de la siguiente manera:
∆xi ≈ f1 ' ( ti ) ∆t ∆yi ≈ f 2 ' ( ti ) ∆t ∆zi ≈ f3 ' ( ti ) ∆t

de manera que,

Pi −1 Pi = ≈

( ∆xi ) + ( ∆yi ) + ( ∆zi )
2 2 2 1 i 2 i 2 2

2

( f ' ( t ) ∆t ) + ( f ' ( t ) ∆t ) + ( f ' ( t ) ∆t )
2 3 i 2

2

≈  f1 ' ( ti )  +  f 2 ' ( ti )  +  f3 ' ( ti )  ∆t       En donde la longitud total dela línea poligonal que aproxima a la longitud de la curva C, viene dado por
L ≈ ∑  f1 ' ( ti )  +  f 2 ' ( ti )  +  f 3 ' ( ti )  ∆t      
2 2 2 i =1 n

Como se observa, se tiene una suma de Riemann, en este caso, para la función  f1 ' ( t )  +  f 2 ' ( t )  +  f 3 ' ( t )  , si hacemos que n → ∞ en esta suma, se calcula el      
2 2 2

valor exacto de la longitud dela curva C planteándose la siguiente integral definida
L = Lim ∑  f1 ' ( ti )  +  f 2 ' ( ti )  +  f 3 ' ( ti )  ∆t = ∫  f1 ' ( t ) +  f 2 ' ( t ) +  f 3 ' ( t ) dt             a x →∞
2 2 2 b 2 2 2 i =1 n

Si C es una curva parcialmente suave, entonces la longitud de arco de esta curva C es la suma de las longitudes de los arcos suaves que la componen. Si la curva C enel plano viene dada de la forma y = f ( x ) , con a ≤ x ≤ b , se puede considerar que x es el parámetro de la función. Entonces las ecuaciones paramétricas de la curva son x = x e y = f ( x ) , es decir, f : ℜ → ℜ2 / f ( x ) = ( x, f ( x ) ) , y su longitud está dada por la integral L=∫
b

a

 dy  1 +   dx  dx 

2

Si se tiene una curva C en ℜ2 que está dada de la forma x = f ( y...