Los números reales

CÁLCULO D DIFERENCIAL

U1. NÚMERO REALES OS

UNIDA 1. NÚM AD MEROS R REALES
1.1 La R Recta Numé érica La recta numérica es una líne recta hor e ea rizontal, en la que aso ociamos de manera biu unívoca ecta con un número en ntero. cada punto de la re Se elige un punto arbitrario, llamado orig a gen, que representa al 0. A la izq quierda se c colocan los enter negativ -1, -2, - etc.; a laderecha s colocan los enteros positivos 1, 2, 3, ros vos -3, a se s etc. Los núm meros en un recta nu na umérica est ordenad ascend tán dos dentemente es decir el valor e, de los números aumenta de i izquierda a derecha, d esta ma de anera pode emos determ minar si un núme es mayor o menor que otro, dependi ero iendo del lugar que o ocupa en l recta la numérica a. Decimos que un nú s úmero es m menor,cuan está ub ndo bicado a la izquierda d otro en la recta de numérica y decimos que es m a mayor, cuando se ubica a la derec de otro. a cha

1.1 Los Números Reales

Jesús Ánge Ovando el

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1. Un número natural es cualquiera de los números: 1, 2, 3, 4, 5,..., que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombreporque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos y se denotan por la letra N. Algunos matemáticos, especialmente los de Teoría de Números no incluyen el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta. En esta clase se optará por el primer criterio. 2. Los números enteros son unageneralización del conjunto de los números naturales que incluye a los números negativos que son el resultado de restar a un número natural otro mayor, el cero y los números naturales convencionales. Se denotan por la letra Z (del alemán zahlen que traduce números). Los enteros se representan gráficamente en la recta numérica como puntos a una misma distancia entre sí:

los números enteros no tienenprincipio ni fin. 3. En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. El término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano. El conjunto de los números racionales se denotapor la letra Q, que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto incluye al conjunto de los números enteros y a su vez es un subconjunto de los números reales.

,

,

4. Un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un ⁄ , donde m y n son número que no puede ser expresado como una fracción enteros, con n ≠ 0 y donde esta fracciónes irreducible. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse un número irracional como decimal infinito no periódico. Toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales alnúmero irracional referido.
Jesús Ángel Ovando 2/6

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1.3 Propiedades de los Números Reales

SUMA Si a, b , entonces existe uno y sólo un número real denotado por a + b, llamado su suma. RESTA Si a, b

, la diferencia entre a y b denotada por a - b, está definida por a – b = a + (-b)

MULTIPLICACIÓN Si a, b , entonces existe uno y sólo unnúmero real denotado por a • b, llamado su producto. DIVISIÓN Si a, b

y b ≠ 0, el cociente a y b, está definido por ·

CERRADURA Si a, b Suma a+b CONMUTATIVA Suma a+b=b+a ASOCIATIVA Suma a + (b + c) = (a + b) + c Multiplicación a • (b • c) = (a • b) • c Multiplicación a•b=b•a Multiplicación a•b

Jesús Ángel Ovando

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DISTRIBUTIVA a • (b + c)...