Los postulados

Los postulados
Los cinco postulados
El enunciado de los cinco postulados es el siguiente:

1. Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta.
2. Todo segmentorectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
3. Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta corta aotras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.
El primer postulado lo emplea Euclides,no sólo en el sentido de que por dos puntos pasa una recta, sino de que ésta es única, porque tal unicidad era el noveno de sus axiomas. Es verosímil que este axioma esté intercalado, y algunosconsideran que debe colocarse entre los postulados, complementando al primero. El cuarto postulado, que pudiera parecer algo oscuro a una mentalidad moderna, es utilizado por Euclides en el sentido de quecualquier ángulo recto puede superponerse sobre cualquier otro
[editar] Terminología actual
En términos actuales, estos postulados podrían entenderse así: el primero y el tercero, al afirmar laposibilidad de trazar rectas y círculos, apuntan directamente a la estructura subyacente. Hoy en día, la estructura más natural que hace posibles los conceptos de distancia y curva con dirección constantees la de geometría riemanniana.
El cuarto postulado afirma que el grupo de las isometrías de la superficie actúa transitivamente en los puntos y los vectores de módulo 1; es decir, dado un vector e demódulo 1 en un punto p y otro vector v de módulo 1 en otro punto q, existe alguna isometría de la superficie que transforma p en q y e en v. Es posible demostrar que las únicas superficiesriemannianas que satisfacen tal condición son el plano euclídeo, el plano hiperbólico, el plano proyectivo y la esfera.
Si exigimos que por dos puntos pase una única línea recta, excluimos la geometría...