LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
EXTENSIÓN MATURÍN





LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES







Profesor:
Realizado por:
Ing. Mariangela Pollonais
Br. Palma, Marielys C.I.19.692.699






Maturín, Agosto de 2013

DEFINICION DE LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES (LGR)
Existe unaestrecha relación entre la respuesta transitoria de un sistema y la ubicación de las raíces de su ecuación característica en el Plano s. Conocer la ubicación de las raíces en el Plano s ante variaciones de un parámetro, puede representar una herramienta muy útil de análisis y diseño, ya que la variación de los parámetros físicos de un sistema que logran una modificación de su ecuacióncaracterística, modifica las raíces o polos de dicho sistema, de forma tal que se puede obtener una respuesta particular o deseada.
Supongamos tener el sistema de la siguiente figura, donde KA es la ganancia de nuestro controlador, el cual puede ser elegido por el diseñador.
 

Figura 1. Esquema de un sistema controlado con retroalimentación.
 La función de transferencia de este sistema es:
  Ec. [1] Los polos de esta función de transferencia estarán dados por las raíces de la ecuación característica: .
Dependiendo de la ganancia KA que elija el diseñador, será la respuesta dinámica que tendrá el sistema retroalimentado (la ubicación de los polos depende de esta ganancia).
Evans propuso que el diseñador del sistema de control construya el lugar geométrico de todas las raíces posibles de laecuación a medida que KA varía desde 0 a infinito. De esta manera podemos elegir adecuadamente la ganancia KA y ver los efectos de polos y ceros adicionales.
Tenemos que la función de transferencia de la planta es:
  Ec. [2]
Donde a(s) y b(s) son polinomios de grado n y m respectivamente, y n ³ m.
Estos polinomios los podemos escribir de las siguientes maneras:
  Ec. [3]
Ec. [4] Llamemos K a: K = KA . Kp.
Entonces la ecuación característica la podemos escribir de las siguientes maneras:
  Ec. [5]
  Ec. [6]
  Ec. [7]
  Ec. [8]
 Consideraremos primeramente el caso en que K es positivo.
El grado de la ecuación característica es el grado mayor de los dos polinomios a(s) y b(s) (observando la ecuación 7), y por lo tanto es de grado n. Esto significa que el número deramas del lugar geométrico de las raíces estará dado por n el grado del polinomio denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
De la ecuación 7 también podemos decir que para K = 0, las raíces de la ecuación característica estará dada por los polos de la función de transferencia a lazo abierto (las raíces de a(s)); y que para K infinito, las raíces de la ecuación característicaestará dada por los ceros de la función de transferencia a lazo abierto (las raíces de b(s)).
Conclusión: existirá n ramas en el lugar geométrico de las raíces que partirán de los polos a lazo abierto y terminarán en los ceros a lazo abierto.
 







APLICACIONES DE (LGR)
El lugar de las raíces, además de ser útil para el análisis de la estabilidad de un sistema lineal y continuo SISO, sepuede emplear para el diseño de un controlador de una variable dentro de un sistema, es decir, se aplica para determinar la función de transferencia del controlador que además de la regulación haga que la respuesta del sistema, ante cambios en su variable de proceso, muestre un perfil de acuerdo a ciertos requerimientos. A continuación se desarrolla un ejemplo de lo anterior valiéndose de laherramienta “Control System Toolbox” disponible en Matlab.

CARACTERISTICAS DEL (LGR)
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado.

Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida....