Lugar geometrico de las raices

Estabilidad.
Al estudiar la estabilidad de un sistema se debe distinguir entre estabilidad absoluta y estabilidad relativa.
Estabilidad absoluta:
Si un sistema lineal invariante en el tiempo es estable volverá a su condición de equilibrio después ser sometido a una perturbación en una de sus entradas. Matemáticamente, se sabe que un sistema es estable cuando todas las raíces de su ecuacióncaracterística se encuentran localizadas en el semiplano izquierdo del plano s.
Estabilidad relativa:
Se refiere al grado de estabilidad de la respuesta y se mide con parámetros como el factor de amortiguamiento ( ) y el máximo pico Mp.
Criterio de Ruth:
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz para un sistema a lazo cerrado no requiere del calculo de los valores de las raíces de laecuación característica, este criterio sólo indica si la raíces están del lado derecho del eje imaginario.



, en los sistemas a lazo cerrado el denominador de C(s)/R(s) constituye la ecuación característica. E.C=1+G(s)H(s)=1+FTLA.

Si la ecuación característica se expresa en la forma polinomial:
1+G(s)H(s)=ao.Sn+ a1.Sn-1+a2.Sn-2….+a n-1.S+an=0
donde ao debe ser positivo.

El criterio deRouth se aplica según:
1era prueba:
Si alguno de los coeficientes es negativo, existe al menos una raíz de la ecuación característica cuyo parte real es positiva y no se requiere de un mayor análisis, el sistema es inestable.
2da prueba:
Se hace el arreglo de Routh:
Donde:
sn ao a2 a4 a6
sn-1 a1 a3 a5 a7
sn-2 A1 A2 A3
sn-3 B1 B2 B3
sn-4 C1 C2 C3
…
s V1 V2
s0 W1 W2

A1= , A2=, A3=
B1= , B2= ,
C1=
 Si alguno de los elementos de la primera columna es negativo hay al menos una raíz positiva y el sistema es inestable.
 El número de cambios de signo en la primera columna es igual al número de raíces positivas de la ecuación característica.

y el resumen es sobre el lugar geometrico de las raices

Técnica del lugar geométrico de las raíces (LGR)
Laspropiedades transitorias del sistema dependen de los ceros de la función de transferencia a lazo cerrado y de las raíces de la ecuación característica, los cuales determinan la estabilidad relativa y absoluta de un sistema.
El lugar geométrico de las raíces es una representación gráfica de la variación de las raíces de la ecuación característica a medida que la ganancia de lazo cerrado varía de cero ainfinito.
Es importante estudiar como varían estas trayectorias cuando una modificación en los parámetros del sistema afecta la ecuación característica y consecuentemente la ubicación de sus polos a lazo cerrado.
Propiedades básicas del lugar geométrico de las raíces:
Sea el sistema a lazo cerrado:

Donde la función de transferencia de lazo cerrado es:

y la ecuación característica es:
E. c.:Recordar que:
=

Así, la ecuación característica queda determinada por la combinación de ceros y polos que constituyen a G(s)´y H(s)´ y dos parámetros que son la ganancia del sistema K´ y la ganancia del controlador.
E. c.:
Parametrización:
Si llamamos Ka K´.Kc y lo consideramos como un parámetro único se tiene:
E. c.:
Entonces la ecuación se puede escribir como:

Estaecuación parametrizada en función de la ganancia debe cumplir con las siguientes condiciones:
Condición de magnitud:
para
Condición de ángulo:
para K con i entero.
Es decir que el ángulo al evaluar esta relación debe ser múltiplos impares de radianes o de 180º.
para K
Es decir que el ángulo al evaluar esta relación debe ser múltiplos pares de radianes o de180º.
El ángulo se puede calcular como:


Aunque estas condiciones son válidas cuando la ganancia K es negativa, el lugar de las raíces se estudiará sólo para casos donde la ganancia es mayor que cero, el otro caso no será considerado.
La condición de ángulo se utiliza para determinar las trayectorias del lugar geométrico en el plano s, una vez obtenidas estas, la ganancia se calcula a...