Lugar geometrico de las raices

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR) DEFINICIÓN: El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una ecuación polinómica cuando un parámetro de ésta varía. En el caso de Sistemas de Control, la ecuación polinómica resultante es la ecuación característica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las raíces de ésta ecuación cuando algún parámetro estácambiando: P(s) num( s ) =0 = 1+ =0 Q( s) den( s ) Podemos ver más claramente el parámetro variable de la siguiente forma:
1 + G( s) H (s) = 0

=

1+

1+ K

P( s) =0 Q( s )

ó

1+ K

num( s ) = 0 ; con K como parámetro variable. den( s )

Ejemplo: Sea G ( s ) H ( s ) = S2 + S + K = 0 Y el lugar geométrico es: K , esto implica que la ecuación característica será: s ( s + 1)

Figura1. LGR para G(s)H(s)=1/s(s+1).

Nota: la finalidad de ésta sección es poder hacer el bosquejo del LGR (gráfica) a mano, contrastarla con los resultados arrojados por Matlab, y crear subrutinas para su elaboración.

EL LGR SE DIVIDE EN: 1. RL: porción del LGR cuando K es mayor o igual a cero (positiva ), [0, ∞) 2. CRL: porción del LGR cuando K es menor que cero (negativa), (-infinito,0), laletra C al principio de RL significa que el CRL es el complemento del RL. 3. CR: contorno de las raíces, esto implica que hay más de un parámetro variando en la ecuación polinómica.

CONSTRUCCIÓN DEL LGR A MANO Construir el LGR implica elaborar una gráfica en el plano S en donde X es la parte real (σ) y en Y la parte imaginaria (jw) de las raíces encontradas cuando K varía en la función detransferencia G(s)H(s); en el caso de que K sea igual a cero, lo que se tienen son los polos del sistema, esto se demostrará más adelante. 1. Encontrar G(s)H(s) Dado el sistema:

Figura 2. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La función de transferencia en lazo cerrado es: M ( s ) = Y la ecuación característica es: 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 En el caso de que nos den una ecuaciónpolinomica, lo que hay que hacer es agrupar todos los términos que tengan la variable K, y luego dividir por todos los términos restantes para que la función quede expresada como la ecuación anterior, esto es: S 2 + 3S + KS + K = 0 es la ecuación polinómica o ecuación característica. S 2 + 3S + K ( S + 1) = 0 Agrupamos los términos de K.
K ( S + 1) = 0 Dividiendo por los términos que no contienen a K, quees la forma S 2 + 3S que queríamos obtener. 1+

Y ( s) G (s) = R(s) 1 + G (s) H ( s)

2. Número de ramas del LGR Con base en G(S)H(s) (función de transferencia en lazo abierto) del ítem anterior, encontramos el número de polos (n) y sus valores y el número de ceros (m) y sus valores. n=número de polos que es igual al grado de la ecuación característica m =número de ceros o grado de la ecuacióndel numerador.

Ejm: del ejemplo anterior tenemos: 1 + n=2, y los polos son S=0 y S=-3. m=1, y el zero es en S=-1.

K ( S + 1) =0 S 2 + 3S

NOTA: El número de ceros debe de ser igual al número de polos (teorema de ecuaciones racionales), por lo tanto sí solo hay un cero finito (que posee valor), implica que el otro cero está en infinito. De ésta manera tendríamos 2 ceros en S=1 y en S=∞.La nomenclatura en el LGR es una X para cada polo y un 0 para cada cero finito. Teniendo lo anterior claro, se define el número de ramas como el número de polos del sistema, o sea, el grado de la ecuación característica. Las ramas son trayectorias que van desde K= - ∞, pasan por K=0 y se van a K = ∞.
K y su LGR se muestra en la gráfica 1, pueden verse 2 s ( s + 1) ramas, una verde y la otra azul,y como no hay ceros finitos, los ceros estarán en S= + ∞ y en S= -∞. Rama 1 verde: va desde -∞ pasa por el polo en S=-1 y se va a S= -∞. Rama 2 azul: va desde -∞ pasa por el polo en S=0 y se va a S=∞.

Ejm: G ( s ) H ( s ) =

3. Asíntotas y su intersección Las asíntotas nos darán una idea de por donde se irán las ramas del LGR, de allí su importancia para elaborar un bosquejo a mano. Para...