Método binomial

Juan Mascareñas

Valoración de opciones

El método binomial de valoración de opciones
© Juan Mascareñas Universidad Complutense de Madrid
Versión inicial: enero 1994 - Ultima Revisión: octubre’00

1. El método binomial para un período 2. El método binomial para dos períodos 3. El método binomial para varios períodos 4. De la distribución binomial a la logonormal 5. La valoración de lasopciones de venta

Cox, Ross y Rubinstein desarrollaron este método de valoración de opciones, que tiene la ventaja de que, además de ser muy intuitivo, utiliza una matemática muy sencilla. Para mostrar su funcionamiento vamos a aplicarlo a la valoración de acciones ordinarias y para hacer más simple la exposición comenzaremos suponiendo que la acción no reparte dividendos.

1. El métodobinomial para un período
Supongamos que el valor actual de una acción ordinaria es de 100 €, y que dentro de un período dicho título puede tomar un valor de 120 €, o bien, haber descendido hasta los 90 €. La probabilidad de que ocurra un resultado u otro no importa, sólo interesa el abanico de resultados posibles. Si adquirimos por c euros una opción de compra europea sobre dicha acción ordinaria convencimiento dentro de un período y precio de ejercicio 100 €, sabemos que podrá valer 20 euros, si el precio de la acción se sitúa en 120 €; o bien 0 euros si la cotización de la acción desciende a 90 € (véase la figura 1).

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Valoración de opciones

Fig.1 Precios de la acción ordinaria y valores de su opción de compra

Existe una combinación, consistente en adquirirun número determinado de acciones ordinarias al mismo tiempo que se emite una opción de compra sobre ellas, tal que la cartera formada proporcionará el mismo flujo de caja tanto si el precio de la acción ordinaria asciende como si desciende. Esta combinación es importante porque pase lo que pase con el precio de la acción ordinaria, el flujo de caja de la cartera será siempre el mismo, es decir,no variará y, por tanto, será cierto; en otras palabras carecerá de riesgo. A dicha combinación se la denomina cartera de arbitraje, ratio de cobertura o delta de la opción. Así pues, si H es el número de acciones ordinarias que compramos por cada opción de compra emitida tendremos que si:

a) El valor de la acción ordinaria dentro de un período es de 120 €, y el de la opción de compra, 20 €.Por tanto, el flujo de caja de la cartera será igual a sumar el valor de mercado de las acciones y restarle el valor intrínseco de la opción de compra: H x 120 - 20 b) El valor de la acción ordinaria dentro de un período es de 90 € y el de la opción de compra, 0 € (la opción no será ejercida y, por tanto, su valor es nulo). El flujo de caja de la cartera de arbitraje será igual a: H x 90 - 0De donde igualando ambos flujos de caja y despejando H obtendremos un valor igual a 2/3. 120 H – 20 = 90 H – 0 à H = 2/3

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Esto es, la cartera formada por 2/3 de una acción ordinaria y la venta de una opción de compra sobre ella1 no tiene ningún riesgo (pase lo que pase siempre tendrá el mismo valor) y, por tanto, el rendimiento que se obtendrácon ella, a lo largo del periodo considerado, obligatoriamente2 será un rendimiento sin riesgo (Rf):

Flujo de caja = 1 + Rf Inversión

De tal manera que si, por ejemplo, el precio de la acción fuese de 120 € y el tipo libre de riesgo durante ese período fuese del 6%, tendríamos que el valor del flujo de caja sería: 2/3 x 120 - 20 = 60 €, y el de la inversión: 2/3 x 100 - c. Así pues,despejando c de la siguiente ecuación obtendremos el valor actual de la opción de compra:

60 = 1 + 0,06 à c = 10,0629 2 / 3 × 100 - c Si la opción de compra valiese en el mercado 11 € deberíamos vender una opción de compra y adquirir 2/3 de una acción ordinaria con lo que, aunque el flujo de caja sería de 60 € (igual que antes, pues en su cálculo nada tiene que ver el precio de compra de la opción),...