Método de Gauss-Seidel


Método de Gauss-Seidel
Este método se basa en la aproximación iterativa propuesta por Seidel en 1874 (Academia de Ciencias de Munich). Para la aplicación al problema del flujo de potencia, las ecuaciones de nodo y condiciones de contorno se combinan, para el nodo k:

De donde se puede expresar la tensión Vk como:

La ecuación anterior es el corazón del algoritmo iterativo. La iteracióncomienza con una estimación de las magnitudes y ángulos de todas las barras del sistema, y se van recalculando las tensiones utilizando los mejores valores disponibles. Esto es, para calcular la tensión Vk se utilizan los V1...k-1 ya actualizados, y los Vk...n del paso anterior. El método tiene una convergencia extremadamente lenta pero segura (excepto para problemas mal condicionados, o sinconvergencia posible.
El método de Gauss-Seidel es un refinamiento del método de Jacobi que generalmente (pero no siempre) converge más rápido. El último valor de cada variable es sustituido en cada paso en el proceso iterativo. El método de Gauss-Seidel, es un método iterativo y por lo mismo, resulta ser un método bastante eficiente. A continuación se presenta un sistema de ecuaciones: 

De laecuación 1 se despeja , de la ecuación 2 despeja, …, de la ecuación n se despeja . Resolviendo lo anterior se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones: 

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas. Para comenzar el proceso iterativo, le se le asigna el valor de cero a las variables ; esto dará un primer valor para . Más precisamente, se tiene que: 

Acontinuación, se sustituye este valor de en la ecuación 2, y las variables siguen teniendo el valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para :

Estos últimos valores de y , se sustituyen en la ecuación 3, mientras que siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso, darán una lista de primeros valores para las incógnitas, la cualconforma el primer paso en el proceso iterativo. Digamos que se tiene: 

Se repite el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio, se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas. Por lo tanto ahora se tiene: 




En este momento, se puede calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. Así, setiene la lista de errores como sigue:

El proceso se vuelve a repetir hasta que: 


donde es una cota suficiente prefijada. 
Criterio de Convergencia para el método de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel surgio como una modificación del método de Jacobi que acelera la convergencia de éste.
El método de Gauss-Seidel recorta sustancialmente el número de iteraciones a realizar paraobtener una cierta precisión en la solución. Evidentemente los criterios de convergencia son similares a los de Jacobi.
Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el método de Gauss-Seidel sino también para el método iterativo del punto fijo y el método de jacobi. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto acada una de las incógnitas, obtenemos la expresión siguiente:


El valor absoluto de las pendientes en la ecuación, deben ser menor que la unidad para asegurar la convergencia.


Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada reglón de ecuaciones. La generalización del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:

El método deGauss-Seidel está basado en el concepto de punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que el sistema tenga una diagonal dominante, es decir que se cumpla la desigualdad siguiente, si se cambió el orden de las ecuaciones esta puede divergir.




Gauss seidel con relajación

El metodo de...