Método de las Superficies de Respuesta

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Método de las Superficies de
Respuesta
En este capítulo se analizará en qué consiste la Metodología de Superficies de Respuesta,
su representación gráfica, el procedimiento a seguir hasta encontrar un óptimo y los diseños
experimentales que pueden utilizar.

7.1 Definición.
La Metodología de Superficies de Respuesta (RSM) es un conjunto de técnicas
matemáticas utilizadas en eltratamiento de problemas en los que una respuesta de interés está
influida por varios factores de carácter cuantitativo. El propósito inicial de estas técnicas es
diseñar un experimento que proporcione valores razonables de la variable respuesta y, a
continuación, determinar el modelo matemático que mejor se ajusta a los datos obtenidos. El
objetivo final es establecer los valores de los factores queoptimizan el valor de la variable
respuesta.
Cuando decimos que el valor real esperado, η, que toma la variable de interés
considerada está influido por los niveles de k factores cuantitativos, X1, X2, ..., Xk, esto significa
que existe alguna función de X1, X2, ..., Xk (que se supone continua en Xi, i = 1, ..., k) que
proporciona el correspondiente valor de para alguna combinación dada deniveles:
,

,…,

(7.1)

de tal forma que la variable respuesta puede expresarse como:
,

,…,

(7.2)

donde ε es el error observado en la respuesta.
, ,…,
existente entre η y los niveles de los k factores puede
La relación
representarse a través de una hipersuperficie (subconjunto de un espacio euclídeo (k+1)dimensional) a la que llamaremos superficie de respuesta.

7.2Terminología.
Factores. Son las condiciones del proceso que influencian la variable de respuesta.
Estos pueden ser cuantitativos o cualitativos. En el presente trabajo los factores se corresponden
con el ángulo de la lámina correspondiente, por tanto tendremos tantos factores como número
de láminas.
Respuesta. Es una cantidad medible cuyo valor se ve afectado al cambiar los niveles
de los factores. Elinterés principal es optimizar dicho valor. En el presente trabajo la Respuesta
no es más que el resultado de la aplicación del Criterio de Tsai-Wu.
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Método de las Superficies de Respuesta 

Función de respuesta. Al decir que un valor de respuesta Y depende de los niveles
x1, x2, ... xk de k factores, ξ1, ξ2,... ξk, estamos diciendo que existe una función matemática dex1,
x2, ... xk cuyo valor para una combinación dada de los niveles de los factores corresponde a Y,
esto es Y=f(x1, x2, ... xk).
Función de respuesta predicha. La función de respuesta se puede representar con
una ecuación polinomial. El éxito en una investigación de una superficie de respuesta depende de
que la respuesta se pueda ajustar a un polinomio de primer o segundo grado.
Supongamos quela función de respuesta para los niveles de dos factores se puede
expresar utilizando un polinomio de primer grado:
(7.3)
son los coeficientes de regresión a estimar, x1 y x2 representan los niveles de
donde , ,
x1 y x2 respectivamente. Suponiendo que se dispone de N 3 valores de respuesta (Y), con los
estimadores b0, b1 y b2 se obtienen , y
respectivamente. Al remplazar los coeficientesde
regresión por sus estimadores obtenemos:
(7.4)
donde

denota el valor estimado de Y dado por x1 y x2.

Superficie de respuesta. La relación Y=f(x1, x2,... xk) entre Y y los niveles de los k
factores x1, x2,... xk representa una superficie. Con k factores la superficie está en k+1
dimensiones. Por ejemplo cuando se tiene Y=f(x1) la superficie esta en dos dimensiones,
mientras que sitenemos Y=f(x1, x2.) la superficie está en tres dimensiones.

Y

x1 

x2

 

Figura 7.1 Superficie de respuesta tridimensional.
Gráfica de contornos.
Una técnica utilizada para ayudar a visualizar la forma que puede tener una superficie
de respuesta tridimensional consiste en representar la gráfica de contornos de la superficie, en la
que se trazan las denominadas líneas de contorno,...