Método De Trabajo Virtual Para Mecanismos

Trabajo Virtual
• Principio de Trabajo Virtual (PTV):
“Si un sistema está en equilibrio bajo la
acción de un conjunto de fuerzas, no se
realiza trabajo neto en un pequeño
desplazamiento del sistema desde su
posición de equilibrio”

Ing. Eduardo Orcés P.

2012-II

Demostración:

Ing. Eduardo Orcés P.

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Ejemplo: Hallar las reacciones en la viga compuesta,
usando el PTV.Ing. Eduardo Orcés P.

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Ing. Eduardo Orcés P.

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Ejemplo: Determinar el valor de θ y la tensión del resorte para la
posición de equilibrio. El resorte tiene una longitud sin deformar h.
Ignorar el peso de los elementos.

Ing. Eduardo Orcés P.

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Ejemplo: Una mesa de elevación hidráulica se emplea para levantar una carga
de 1000 kg (solo se muestra lamitad del mecanismo).Los elementos EDB y
CG miden 2a de longitud, y el elemento AD está empernado al punto medio de
EDB. Determine la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico para θ = 60º.
( a=0.70 m, L=3.20 m)

Ing. Eduardo Orcés P.

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Ing. Eduardo Orcés P.

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Trabajo Virtual con fuerzas de inercia
• El método de trabajo virtual puede ser aplicado
sinmodificaciones al cálculo de fuerzas
dinámicas. Para su aplicación es conveniente
haber obtenido previamente los diagramas de
velocidades y aceleraciones, pues éstas se
requieren para calcular las fuerzas de inercia.
• Generalmente se lo usa para calcular el par
motor, y el resto de reacciones se las encuentra
por suma de fuerzas y momentos.

Ing. Eduardo Orcés P.

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Ing. Eduardo Orcés P.2012-II

Ejemplo: Usando el PTV, encuentre el par motor
en el mecanismo ranurado resuelto en la Clase 2.
• Velocidades y aceleraciones de los
centros de masa de los eslabones:
vG2 = 636/2 = 318 mm/s @ 135°
vG3 = 900/2 = 450 mm/s ↑
aG2 = 1273/2 = 636.5 mm/s2 @ 45°
aG3n = 3600/2 = 1800 mm/s2 ←
aG3t = 7200/2 = 3600 mm/s2 ↓
α3 = 32 rad/s2
α2 = 0 rad/s2

Ing. Eduardo Orcés P.2012-II

Aplicando el PTV, se obtiene:

Ing. Eduardo Orcés P.

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Obtención de las ecuaciones
del movimiento de sistemas
• Las ecuaciones que rigen el movimiento de los
sistemas mecánicos se las puede obtener por
diferentes métodos, entre los que se cuentan los
siguientes:
1) Ecuaciones de Newton-Euler
2) Métodos energéticos (Trabajo Virtual, etc.)
3) Ecuaciones de Lagrange
4)Ecuaciones de Kane
5) Métodos especializados (usados en Robótica,
por ejemplo).
Ing. Eduardo Orcés P.

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• Ejemplo: Usando el Principio de Trabajo Virtual, determine la
ecuación del movimiento para pequeñas oscilaciones de la
viga rígida de masa M, cargada como se muestra en la figura.
Solución: Se dibuja la viga en la
posición de equilibrio θ, y se le da
un desplazamientovirtual δθ.
Calculamos el trabajo virtual
hecho por cada fuerza.
•

Fuerza de inercia:
 Ml 
U  
 3  



2

•

Fuerza del resorte:
 l l
 2 2

U   k   

•

Fuerza del amortiguador:

U  c l  l

Ing. Eduardo Orcés P.

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• Carga distribuida:

l2
U   ( po f (t )dx) x  po f (t ) 
0
2
l

• Sumando los trabajosvirtuales, e igualando a cero, se obtiene la
ecuación del movimiento angular de la viga alrededor de la posición
de equilibrio estático:
 Ml 2  
l2
l2
2

 3   (cl )  k 4   po 2 f (t )




Ing. Eduardo Orcés P.

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Ecuaciones de Lagrange
• Expresa las ecuaciones del movimiento en
términos de coordenadas generalizadas.
• Las coordenadas generalizadas (q1, q2,…,qn) son
un conjunto de coordenadas iguales en número a
los grados de libertad del sistema.
• Por ejemplo, en el caso de un péndulo, el ángulo
de inclinación θ constituye una coordenada
generalizada, mientras que las coordenadas (x,y)
de la masa en el extremo, necesitan la ecuación
de constricción adicional √(x2 + y2) = constante. En
general, se cumple que n – c = GDL.
Ing. Eduardo Orcés...