Mínimo común múltiplo

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Descomposición prima del Mínimo común múltiplo (mcm) 12 6 3 1 1 1 42 21 21 7 7 1 35 35 35 35 7 1 2 2 3 5 7 420

OK, el mcm es 420, pero… … ¿Qué es en realidad el mcm entre 12, 42 y 35?

Veamos otra forma de encontrar el mcm: 1) Primero debes encontrar la descomposición prima de cada número en cuestión 12= 35=

2) Completa el diagrama de Venn para los factores primos, recuerda que no puedesrepetir elementos:

3) Ahora, considera el diagrama y la descomposición de cada número para encontrar la descomposición prima del mcm:
Algunas claves para la solución El mcm de los números en cuestión cumple dos propiedades fundamentales: 1)    “Contiene de manera exacta” a cada uno de ellos. Por lo tanto: En la descomposición prima del mcm encontrarás todos los factores del diagrama. El mcmes mayor o igual que cada uno de los números. Los exponentes de cada factor en la descomposición del mcm no pueden ser menores que los exponentes encontrados en la descomposición de cada número. El mcm es el menor número que cumple la propiedad 1. Luego: Para cada factor en la descomposición del mcm, su exponente no puede ser mayor, que el mayor de los exponentes en la descomposición de losnúmeros.

2) 

4) A partir de lo anterior conjeture un método para encontrar la descomposición prima del mcm de cualquier conjunto de números.

Parte II) El profesor… Veamos cómo utilizar la tabla para obtener la descomposición prima de cada uno de los números en cuestión y del mcm: 12 6 3 1 1 1 42 21 21 7 7 1 35 35 35 35 7 1 2 2 3 5 7 420

a) PARA EL MCM: Los números de la última columnacorresponden a la descomposición prima del mcm, en efecto:

Si “resumimos” esto mediante propiedades de potencias de igual base queda:

PARA CADA NUMERO: Para obtener la factorización de cada uno de los números nos fijamos en qué números de la columna en rojo dividieron efectivamente a éstos hasta reducirlos a 1. Por ejemplo: 12 6 3 1 1 1 42 21 21 7 7 1 35 35 35 35 7 1 2 2 3 5 7 420

LuegoPerfecto, ahora la tabla es un método que nos permite encontrar la descomposición prima de los miembros de cualquier conjunto numérico. Ahora que eres experto en descomposición prima…resuelve el siguiente problema:
Alumno… 1) Utilizando

la descomposición prima, encuentre el máximo común divisor para el siguiente conjunto numérico 244, 450, 360
Considerando lo aprendido, veamos un método paraobtener la descomposición prima del máximo común divisor de un conjunto de números: 1) 2) 3) Obtén la descomposición prima de cada número Haz el diagrama de Venn de los factores primos e identifica aquellos que están en la intersección de todos los números del conjunto, estos son efectivamente los factores primos del MCD Solo falta agregar el menor exponente con el que aparece cada factor del MCD enlas descomposiciones primas correspondientes

Análisis de la actividad: I) El teorema fundamental de la aritmética señala que todo número entero positivo, se puede descomponer de manera única como producto de factores primos, de esto se deduce la unicidad de algunos objetos, tales como, el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd), además de darnos un método para el cálculode ellos basándose en esta descomposición. Y entonces, ¿Cuál es dicho método? El mínimo común múltiplo de un conjunto de números debe ser divisible por cada uno de ellos, por lo tanto en su descomposición prima deben aparecer todos los factores primos del conjunto, elevados a la máxima potencia con la que aparecen respectivamente, de esta forma se asegura que es divisible por cada número delconjunto .No se pueden tomar potencias más altas ni otros números por la minimalidad del mcm. Luego el mcm es precisamente la multiplicación de todos los factores primos involucrados elevados a la potencia más alta respectiva. II) Qué respuesta idónea se espera por parte de los alumnos: 1) Encuentra la descomposición prima del número, descomponiendo en factores de menor magnitud hasta lograr solo...
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