Magnitudes directamente proporcionales
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Publicado: 26 de abril de 2011
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 Kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 Kg. ¿Cuántos sacos de 20 Kg. se podrán hacer?
Número desacos 1 2 3 ... 26 ...
Peso en Kg. 20 40 60 ... 520 ...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a Kg. es 20.
Esta manera de funcionar de las proporciones nospermite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudescantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros de agua 50 x
Gramos de sal 1.300 5.200
Se verifica la proporción:
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números enforma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
Es decir
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.
Ver: PSU: Matemática;
Pregunta 02_2005
Pregunta 05_2005
Ejemplo 2
Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 Km. Siquedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 Km.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
Ejemplo
Si 3hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).
Formamos la tabla:Hombres 3 6 9 ... 18
Días 24 12 8 ... ?
Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entredos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.
Ver. PSU: Matemática, Pregunta 10
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)
Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos quecon el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de vacas 220 450
Nº de días 45 x
Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde
En la práctica esto se suele disponer...
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 Kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 Kg. ¿Cuántos sacos de 20 Kg. se podrán hacer?
Número desacos 1 2 3 ... 26 ...
Peso en Kg. 20 40 60 ... 520 ...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a Kg. es 20.
Esta manera de funcionar de las proporciones nospermite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudescantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros de agua 50 x
Gramos de sal 1.300 5.200
Se verifica la proporción:
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números enforma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
Es decir
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.
Ver: PSU: Matemática;
Pregunta 02_2005
Pregunta 05_2005
Ejemplo 2
Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 Km. Siquedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 Km.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
Ejemplo
Si 3hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).
Formamos la tabla:Hombres 3 6 9 ... 18
Días 24 12 8 ... ?
Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entredos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.
Ver. PSU: Matemática, Pregunta 10
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)
Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos quecon el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de vacas 220 450
Nº de días 45 x
Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde
En la práctica esto se suele disponer...
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