Magnitudes escalares y vectoriales

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la"saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.--------------------------------------------------------------------------------

Suma de Vectores
La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.

Procedimiento Gráfico
Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremosel resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta elextremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

MétodoAlgebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores

La expresión correspondiente al vector suma es:

o bien

siendo, por tanto,

La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

Conmutativa
a + b = b + a

Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro o vector 0
a + 0 = 0 + a = a

Elemento simétrico u opuesto a'
a + a' = a' + a = 0

a' = -a--------------------------------------------------------------------------------

Producto de un vector por un escalar
El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :

1.- Tiene la misma dirección que v.
2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vectortantas veces como indica el escalar.

Ejemplo :

Propiedades
El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: k · v = v · k.
2.- Distributiva: k (v + u) = (k · v ) + (k · u).
3.- Elemento Neutro: 1 · v = v.
4.- Elemento Simétrico: -1 · v = - v.

--------------------------------------------------------------------------------

Producto escalar dedos vectores
El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = j · j = k · k = 1...