Mapa Mental de las leyes de las ondas


4.3.3. Derivada de Funciones Trigonométricas.

Tipo Seno











Tipo Coseno



















Aquí se calculan las derivadas de seno, coseno,tangente, cotangente, secante y cosecante, y se usan en el cálculo de otras funciones.
Ahora procedemos a calcular las derivadas de algunas de las funciones trigonométricas básicas utilizando ladefinición y las propiedades estudiadas en capítulos anteriores. Luego se dará una tabla con las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas.
La derivada de y = sen x
Utilicemos le definiciónde derivada para determinar la derivada de la función y = sen x. Según eso tenemos:
y' =
=
(usando la fórmula del seno de una suma de ángulos)
= (reagrupando términos)
= (separandolímites)
= sen x cos x
(para efectos de límite, la variable es h)
= sen x 0 + cos x 1 (porque y = 1)
= cos x
Es decir (sen x)'= cos x. Usted puede llevar a cabo un procedimiento parecido aéste para encontrar que (cos x)'= - sen x.
La derivada de y = tan x
Ahora calcularemos la derivada de y = tan x . No necesitamos hacer lo mismo que hicimos antes para calcular la derivada del senoni lo que usted hizo para calcular la derivada de coseno, sino que usaremos esas dos derivadas y las fórmulas del Capítulo 5.
En efecto, tenemos que tan x = y por lo tanto
(tan x)' =
=(usando la derivada de un cociente)
=
(porque (sen x)' = cos x y (cos x)' = - sen x)
=
=
= sec2 x
Esto es: (tan x)' = sec2 x.
La derivada de las funciones trigonométricas
Realizando unprocedimiento análogo al anterior se puede calcular las derivadas de las restantes funciones trigonométricas básicas. A continuación se da una tabla con todas ellas.
Tabla 6.3
Derivadas de las funcionestrigonométricas
(sen x)' = cos x (cos x)' = -sen x
(tan x)' = sec2 x (cot x)' = -csc2 x
(sec x)' = sec x tan x (csc x)' = -csc x cot x
Ejemplo 6.Cálculo de derivadas
Calcular la...