Maple

Prácticas de Análisis Matemático I - Matemáticas - Universidad de Zaragoza

Práctica 10: Aplicaciones del cálculo integral
El objetivo de esta práctica es usar Maple para hallar integrales definidas y estudiar algunas aplicaciones del cálculo integral: cálculo de sumas de Riemann, áreas de recintos planos, volúmenes y superficies de revolución, longitudes de curvas, etcétera.

1. Comentariosgenerales
Para escribir y calcular integrales definidas utilizamos los siguientes comandos: > restart; Int(x^2+2*x-3,x=1..5); ⌠ 2  x + 2 x − 3 dx ⌡ 1 El comando value(Int(...)) o directamente int nos dan el valor: > Int(x^2+2*x-3,x=1..5)=int(x^2+2*x-3,x=1..5); 5 160 ⌠ 2  x + 2 x − 3 dx = ⌡ 3 1 Para hacer cambios de variable, necesitamos cargar el paquete student: > with(student): a:=Int(1/(4*x+ 17)^6,x=1..2); ⌠  1 a :=   ( 4 x + 17 )6 dx  ⌡ 1 Hacemos un cambio de variable u = 4x + 17: > a1:=changevar(u=4*x+17,a,u); value(a1); ⌠  1 1 a1 :=   4 u6 du  ⌡ 21 1420381 199418994140625 >
25 2 5

2. Comentario: sumas de Riemann
Vamos a dibujar y calcular algunas sumas de Riemann de la función f( x ) = x3 − 5 x2 + x + 10 en el intervalo [-1, 4]. Para eso, introducimos el paquetestudent y dibujamos la curva. > restart; with(student): > f:=x->x^3-5*x^2+x+10; f := x → x3 − 5 x2 + x + 10 > plot(f(x),x=-1..4,thickness=2);

Vamos a dividir el intervalo en unos cuantos subintervalos; dibujamos un rectángulo sobre cada subintervalo de altura igual al valor de f en el extremo derecho del subintervalo. Para ello usamos el comando rightbox del paquete student. Calculamos el valordel área encerrada y su aproximación (cambiando right por left o middle podemos considerar rectángulos de altura igual al valor de f en el extremo izquierdo o en el punto medio). > rightbox(f(x),x=-1..4,6); rightsum(f(x),x=-1..4,6); evalf(%);

3 2 6  5 5  5  5      −1 + i  − 5  −1 + i  + 9 + i         6  i = 1  6  6  6    

∑

10.54398148 Ahora con 25rectángulos: > rightbox(f(x),x=-1..4,25); rightsum(f(x),x=-1..4,25); evalf(%);

1   5 

25

∑
i=1

3 2  1   1  1      −1 + i  − 5  −1 + i  + 9 + i       5   5  5  

12.40000000 El valor de la integral es el siguiente: > Int(f(x),x=-1..4)=int(f(x),x=-1..4); evalf(int(f(x),x=-1..4)); 155 ⌠ 3  x − 5 x2 + x + 10 dx = ⌡ 12 -1 12.91666667 Programemos este proceso deaproximación, dándole animación: > animateRiemann:=proc(f,a,b) local j,Lb; for j from 1 to 10 do Lb[j]:=student[rightbox](f,x=a..b,20*j): end do:
4

plots[display]([seq(Lb[j],j=1..10)],insequence=true); end proc: > animateRiemann(f,-1,4);

Calculemos ahora algunas aproximaciones numéricas: > for j from 1 by 5 to 26 do print(evalf[10](rightsum(f(x),x=-1..4,300*j))) end do; 12.8748842612.90971901 12.91287783 12.91406206 12.91468228 12.91506393 >

3. Ejercicios resueltos
⌠  x2 1) Calcular  4 dx . Calcular   x −1 ⌡ 2
Solución
3

⌠  x2  dx , si 0 < a < 1.  4  x −1 ⌡ 0

a

> restart: with(student): > Int(x^2/(x^4-1),x =2..3)=int(x^2/(x^4-1),x=2..3); ⌠  x2 1 1 1 1  dx = − ln( 2 ) + arctan( 3 ) + ln( 3 ) − arctan( 2 )  4 4 2 4 2  x −1 ⌡ 2 >Int(x^2/(x^4-1),x=0..a)=int(x^2/(x^4-1),x=0..a); ⌠  x2 1 1 1 1  dx = ln( a − 1 ) − ln( 1 + a ) + arctan( a ) − I π  4 4 4 2 4  x −1 ⌡ 0 ¿El resultado depende de la unidad imaginaria? No. Esto es debido a que la primitiva que obtiene Maple aparece de la siguiente forma: > int(x^2/(x^4-1),x); 1 1 1 ln( x − 1 ) − ln( 1 + x ) + arctan( x ) 4 4 2 que para números en el intervalo (0 ,1) toma valores complejos. La primitivaen R es > f:=x->1/4*ln(abs(x-1))-1/4*ln(abs(1+x))+1/2*arctan(x); 1 1 1 f := x → ln( x − 1 ) − ln( x + 1 ) + arctan( x ) 4 4 2 Y por tanto el resultado será
a 3

> Int(x^2/(x^4-1),x =0..a)=f(a)-f(0); ⌠  x2 1 1 1  dx = ln( a − 1 ) − ln( 1 + a ) + arctan( a )  4 4 4 2  x −1 ⌡ 0 > 2) Sean g( x ) = x2 + 2 y f( x ) = 2 x + 5. Dibujar las gráficas de las dos funciones sobre los mismos ejes y...