MARCO TEORICO Probabilidades

MARCO TEÓRICO
La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si laarrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos:
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Teoría deprobabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Ejemplos:
Al lanzar una moneda salgacara.
Al lanzar un dado se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Ejemplos:
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo:
Tirar un dado unsuceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Un ejemplo completo:
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer almenos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Definición clásica de Probabilidad
Dado un experimento aleatorio con un espacio de n sucesos elementales Ω, la probabilidad del suceso A, que designamos mediante P(A), es la razón entre la cantidad de casos favorables parala ocurrencia de A y la de casos posibles. En otros términos:
P(A) =
Donde es la cantidad de casos favorables de A.





























Observación. La probabilidad es un número no negativo, y menor o igual que 1, es decir, para cualquier suceso A tenemos:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Observación. Como el conjunto vacío ∅ es un subconjunto de Ω sin elementos, tenemos que su probabilidad es nula, esdecir P(∅) = 0. Es por esto que lo llamamos suceso imposible.
Por otra parte obtenemos que P(Ω) = 1, por lo que llamamos suceso seguro al espacio de sucesos elementales Ω.
Ejemplo:
Calcular la probabilidad de que al tirar un dado dos veces consecutivas, la suma de los puntos obtenidos sea no menor que 8.
Solución
Designemos por (i,j) al resultado del experimento consistente en tirar un dado dosveces consecutivas, y obtener i puntos en el primer tiro y j puntos en el segundo (i,j = 1, 2, 3, 4, 5, 6). El conjunto de sucesos elementales que describe los resultados de un experimento de este tipo, se compone de 6×6 = 36 puntos de la forma (i,j), y puede ser representado en la siguiente tabla:






El suceso A consiste en que la suma de los puntos obtenidos es no menor que 8. Es claro, quelos casos favorables para la ocurrencia del suceso A son los son indicados en la tabla. La cantidad de estos sucesos es 15. Considerando que los 36 resultados posibles son equiprobables, y aplicando la definición de probabilidad, obtenemos P(A) = 15/36 = 5/12.





Combinatoria y aplicaciones a la probabilidad
Permutaciones
En vista de la definición que dimos de probabilidad, basada en las...