Marco teorico

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MARCO TEÓRICO.
Imaginemos la rotación, de una vuelta completa de un triángulo rectángulo de altura h y base r alrededor del cateto vertical considerado como eje fijo.
[pic]
El sólido así generado se llama cono recto circular, le llamaremos simplemente cono. El cateto fijo considerado como eje de rotación se llama eje del cono, la longitud del eje del cono se llama altura h del cono. Larotación del otro cateto genera un círculo perpendicular al eje, a este círculo se le llama base del cono, el radio r de esta base circular se llama radio del cono. La hipotenusa del triángulo que hace rotar se llama generatriz G. El punto de intersección de la generatriz con el eje se llama vértice del cono. Usualmente se dice que el cono tiene altura h y radio r, y se dibuja con eje vertical.
Lassecciones planas perpendiculares al eje, secciones transversales, son círculos, dichos círculos tienen  su radio cada vez menor a medida que se acercan al vértice. Cualquier corte axial, es un triángulo isósceles de base 2r y altura h, y lados iguales a G.
Área superficial. Su superficie se puede considerar como formada por (a) un círculo, a dicho círculo se le llama superficie de la base; y  (b) lasuperficie generada por la rotación de la generatriz, al desplegarlo sobre el plano es un sector circular cuyo radio es igual a la generatriz G del cono, y cuyo arco S, tiene longitud igual al perímetro de la circunferencia de la base, a dicha superficie se le llama superficie lateral del cono.
[pic]
El área de la base es [pic]r2. Ahora, ¿cómo determinar el área de la superficie lateral para unaaltura h y radio r del cono? Determinémosla por analogía. El sector circular es análogo a un triángulo isósceles; el radio del sector que es igual a la generatriz del cono, es análogo a la altura del triángulo y la base del triángulo isósceles es análogo al arco del sector circular, ello porque la altura del triángulo es perpendicular a la base del triángulo isósceles y el radio del sectorcircular es perpendicular a la tangente del arco. Entonces el área del sector debe de tener la misma estructura que el área del triángulo isósceles, base por altura entre dos.
[pic]
De esta manera el área del sector es igual a la longitud del arco S por el radio del sector G entre dos SG/2. La longitud del arco es igual al perímetro del círculo de la base S = 2[pic]r. Para relacionar la generatriz delcono o radio del sector, con el radio y altura del cono, realizamos un corte axial y formemos un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras [pic]. Por tanto el área superficial del cono es,
[pic]
Volumen. Se puede demostrar usando cálculo integral que el volumen del cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y altura,
[pic]

Llenado de un cono.
Un cono enposición vertical con su vértice hacia abajo, tiene 12 cm de radio y 50 cm de altura.
Se vierte agua a razón constante de 0.001 m3/min (1 litro por minuto). Supongamos que en todo momento del llenado la cantidad de agua dentro del cono adopta forma cónica. Obviamente, durante el llenado, el radio, la altura y el volumen del cono de agua crecen.
Nos planteamos las siguientes preguntas:
¿Cuál esla capacidad del cono?
Solución. Hacemos dibujos en perspectiva del cono y contenido de agua, debemos explicitar todos los datos constantes y las variables.
[pic][pic]
Variables.
t es el tiempo que transcurre durante el llenado, t varía entre cero y un valor finito que representa el tiempo en minutos que tarda en llenarse completamente tl
0 [pic]t [pic]tl;
r es el radio del cono de agua 0[pic]r [pic]t
h es la altura del cono de agua 0 [pic]h [pic]4
V es el volumen del cono de agua, variando desde cero hasta alcanzar el volumen Vr del tanque 0 [pic]V [pic]Vr.
Usando los datos del cono Vt = π(12)²(50) / 3 = 7539.82 cm³
Vt = π(.12)²(.50) / 3 = 0.00753982 m³ = 7.53 litros de agua
¿Cómo cambia el volumen del cono de agua en el tiempo?
Tenemos que describir cómo crece el...
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