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MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE:

El modelo de regresión lineal múltiple
El modelo de regresión lineal múltiple es una generalización del modelo de regresión lineal simple, en el querelacionamos la variable que queremos explicar, Y, con las k variables explicativas X1, X2, ..., Xk. Lo encontraremos a partir de los valores (xi, yi) que toman estas variables sobre los elementos de unamuestra y mediante la expresión siguiente:

y = b0+b1x1+b2x2+...+bkxk+e

Expresando esta ecuación para cada observación de la muestra, obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

y =b0+b1x1+b2x2+...+bkxk+e
y1 = b0+b1 x11+b2 x21+...+bk xk1+e1
y2 = b0+b1 x12+b2 x22+...+bk xk2+e2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
y3 = b0+b1 x1n+b2 x2n+...+bk xkn+en

Podemos representar estesistema de forma matricial:

[pic].

De manera que podemos escribir el modelo de la forma siguiente:
y = X b + e
donde:

• y: es el vector (n ´ 1) de observaciones de la variable Y.
• X: esla matriz (n ´ k) de observaciones. A partir de la segunda columna, cada columna xi tiene las observaciones correspondientes a cada una de las variables que consideremos.
• β : es el vector (n ´ 1)de los coeficientes de la regresión.
• e: es el vector (n ´ 1) de los residuos o errores.

- X β es la parte correspondiente a la variación de y que queda explicada por las variables Xi;- e es un término que llamamos de los residuos o errores y que de alguna manera recoge el efecto de todas aquellas variables que también afectan a y y que no se encuentran incluidas en el modeloporque son desconocidas o porque no se tienen datos suyos. Sobre este término haremos dos suposiciones importantes:

1- Los errores se distribuyen según una distribución normal de media cero y unavarianza δ2.
2- Los errores son independientes.

Con estas dos suposiciones tenemos dos consecuencias importantes:

1- Fijando unos valores x1, x2, ..., xk de las variables X1, X2, ..., Xk y...