Marx Parabola

BACH 1º CT

IES Complutense

Tema 11. (I) LUGARES GEOMÉTRICOS. LA CIRCUNFERENCIA

Resumen

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
Una vez descrita la propiedad, se puede optar por: 1) representarla; 2) encontrar su
expresión matemática.

•

Ejemplos:
a) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A(1,−1) y B(2, 0).
b) El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A(2, 3) es doble que la
distancia a la recta x – y + 2 = 0.
c) La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de los extremos A y B. Esto es, si P es un punto
de la mediatriz verificará d(P, A) = d(P, B). (Como sabes, la mediatriz es
la recta perpendicular alsegmento por su punto medio.)
d) La bisectriz del ángulo determinado por dos rectas es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de dichas rectas. Esto es,
si P es un punto de la bisectriz verificará d(P, r) = d(P, s). (Como sabes, la
bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice divide al ángulo
en dos partes iguales.)
La Circunferencia: es el lugar geométricode los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un
punto de la circunferencia se llama radio.
La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r, es
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r ⇔ ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2

Ejemplos:
a) La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3 es: x 2 + y 2 = 9
b) La ecuaciónde la circunferencia con centro en C(−2, 1) y r = 4 es: ( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 = 4 2
La expresión x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0 (*) es la ecuación general de una circunferencia. Su
centro y radio pueden deducirse completando cuadrados.
Ejemplo: La ecuación x 2 + y 2 − 6 x + 8 y = 0 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 5 2
•

Determinación de una circunferencia
• Una circunferencia queda determinadadando su centro y su radio.
• Una circunferencia queda determinada por tres puntos no alineados. Su ecuación puede
obtenerse sustituyendo sus coordenadas en la ecuación (*).
• Una circunferencia queda determinada dando dos puntos de ella diametralmente opuestos.
• Una ecuación queda determinada su centro y la ecuación de una recta tangente a ella.
• Una circunferencia queda determinada dandodos puntos de ella y la recta en la que esté su
centro.
Para la obtención de su ecuación puede aplicarse alguna de las propiedades siguientes:
1. El centro de una circunferencia se halla en la mediatriz determinada por dos puntos de ella.
2. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente al punto de
tangencia.

Matemáticas 1

BACH 1º CT

IES ComplutenseTema 11. (II) CÓNICAS

Resumen

La elipse: es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante → d(P, F) + d(P, F´) = constante

Elementos de una elipse
Eje focal a la recta que pasa por los dos focos.
Eje secundario es la mediatriz del segmento que
determinan los focos. La elipse es simétricarespecto de ambos ejes.
Centro es el punto de corte de los dos ejes.
Los vértices de la elipse A, A´, B, B´ son los
puntos de corte de ésta con los ejes. El segmento
AA´ se llama eje mayor; su valor es 2a. El semieje mayor es a. Al segmento BB´ se le llama
eje menor. Su valor es 2b. El semieje menor es b. La distancia entre los focos se llama
distancia focal y vale 2c: la semidistancia focales c. La relación entre a, b y c es: a2 = b2 + c2,
x2 y2
• La ecuación reducida de la elipse es:
+
=1
a2 b2
x2 y 2
Ejemplo: La elipse centrada en origen de semiejes a = 5 y b = 4 es:
+
=1
25 9
c
• Se llama excentricidad de una elipse al número e =
. Su valor está entre 0 y 1. La
a
excentricidad mide el achatamiento de la elipse: cuanto mayor sea la excentricidad mayor
será su...