Mate 1

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MATEMÁTICAS I
ARITMETICA
El conjunto N de los números naturales es
N = {1, 2, 3, 4, 5…}
Los números naturales pueden sumarse, por ejemplo:
4 + 7
Los números naturales pueden multiplicarse, por ejemplo:
4 . 7 = 28
En general, la diferencia de dos números naturales no es un número natural, por ejemplo:
4 – 7 = -3
El conjunto Z de los números enteros es:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,3, 4}
En este conjunto la suma, el producto y diferencia de números enteros es un número entero, por ejemplo:
2 + 1 = 3 2 + (-7) = -5
2 . (-5) = -10 -3 . (-4) = 12
4 – 7 = -3
Tenemos que el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros, y escribimos
N c Z
En general, el cociente de dosnúmeros enteros no es un número entero, por ejemplo:
7/(2 )=3.5 30/8 = 3.75
El conjunto Q de los números racionales es:
Q = {(m )/n : m, n ∈ Z y n ≠ 0}
Ejemplos de números racionales son:
1/4 = 0.25 - 3/8 = 0.375 1/9 = 0.1111…
327/416=0.786057692…
La suma, producto, cociente y diferencia denúmeros racionales es un número racional, por ejemplo:
(1 )/4+1/2=3/4 3/16 .-5/2= -15/32
(6/5)/(2/7)=42/10=21/5
7/(3 )-1/9=(21-1)/9=20/9
Tenemos que Z c Q
Teorema. 2 es un número racional, pero √(2 )no lo es
√2=1.414213562…
Decimos que √2 es un número irracional
Otros números irracionales son π,√3,e,…
En el conjunto R de los números reales estándefinidas dos operaciones: suma + y producto (o multiplicación) . , que satisfacen los siguientes axiomas.
Axiomas de la suma
(S1) La suma es cerrada. Si a, b ∈ R, entonces a + b ∈ R.
(S2) La suma es conmutativa. Si a, b ∈ R, entonces a + b = b + a.
(S3) La suma es asociativa. Si a, b, c ∈ R , entonces (a + b) + c = a + (b + c).
(S4) Existe un solo número o ∈ R tal que a + 0 = a para todo a∈ R, a o se le llama cero o elemento neutro de la suma.
(S5) Para cada a ∈ R existe un solo número –a ∈ R tal que a +(-a) = 0. A –a se le llama inverso aditivo de a.
Axiomas de la multiplicación
(M1) La multiplicación es cerrada. Si a, b ∈ R, entonces a . b ∈ R.
(M2) La multiplicación es conmutativa. Si a, b ∈ R, entonces a . b = b . a.
(M3) La multiplicación es asociativa. Si a, b, c ∈ R,entonces (a . b) . c = a . (b . c).
(M4) Existe un solo número 1 ∈ R tal que a . 1 = a para todo a ∈ R. A 1 se le llama elemento neutro.
(M5) Para cada a ∈ R, excepto el cero, a ∈ R\{0}, existe un solo número a-1 ∈ R tal que a . a-1 = 1. A a-1 se le llama inverso multiplicativo de a o reciproco.
La propiedad distributiva es
(D) a .(b + c) = a .b + a .c para todo a,b,c ∈ R.
Por la conmutatividaddel producto, también se tiene que
(a + b) .c = a .c + b .c
Ejemplos. (Productos notables)
(a – b) (a + b) = (a – b) . (a + b)
= (a – b) . a + (a + b) . b
= a . a – b . a + a – b – b . b
= a2 – b2
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
= (a + b) . a + (a + b) . b=a . a + b . a + a . b + b . b
=a2 + 2ab +b2
(a + b)3 = (a + b) . (a + b)2
= (a + b) . (a2 + 2ab + b2)
= (a + b) . a2 + (a + b) . 2ab + (a + b) . b2
= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(x + a)(x + b) = (x + a)x + (x + a)b=x2 + ax + bx + ab
=x2 + (a + b)x + ab

Exponentes
a0 = 1 am . an = am+n (ab)n = an bn
a1 = a (am)n = am . n (a/b)n = an/bn
a2 = a . a am/an = am-n...
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