Mate 4 15-16

-

Módlulo5 1

OBJETIVOS ESPECIFiCaS
"

Al terminar, de'estudiar este mÓdulo, el alumno: " 1. 2.' Identificará ~ose(emehtos pe un triángulo. Deducirá el "teorema de los senos".

3.'

'ResqlveráuQ triángulo rectán!~ulodado utilizando Ié.!s xpresiones trie
gonom~tricas qu~ relacionar:' a dos de los eJe'mentos con~)Cidos y a . uno de los,descónocldos.,

EsaUEMJ~ RESUMEN
.
,

\

.de un

. triángulo. []3mentos
y'

r
Funciones
circulares.
\

....... F

'leorema
do los

Resolución

:.. F

de
triángu.los

SEnos. . .

-

rectángLi los.

~,

255.

15.' APLlCACION DE LAS' FUNCIONES CIRCULARESÁ LA RESOLUCION TRIANGULOS. DE Elemento$ deun triánglilo~

Ahora veremos cómo las funciones circulare~ pueden la resolución de triángulos. 'Esconveniente aplicarse recordar que un triángulo tiene 6 elementos: tres lados.y tres ángulos, y que resolver un .triángulo consiste en calcular tres' de los elementos cuando. se conocen los otros tres, siempre que' por lo menos uno de ell,os sea un lado:

a

Consideraremó~ algunos teoremas utilizados en la resolución de triángulos y aceptaremos que un triángulo puede resolverse cuando se conocen: 1) 2)3) 4) Dos ángulos y un lado. Dos lados y 'el ángulo comprendido. Los tres, lados. . ' . Dos lados y el ángulo opuesto' a unq de ellos (en este caso. pueden existir hasta dos soluciones).
,

15.1 TEOREMA DELOSSENOS.

Está cpnvenido representar los áng~los de un triángülo ABC cualquiera, por a, {J,'1," respectivamente a los lados opuestos a, b, y c. (Figura 1).
B C

A'

, .b

,

"'CB Figura 1
I

,

c

Dibujemos un triángulo en un sistéma de coordenadas rectangul"ares, de manera que el ángulo a esté en posición normal (Ver Fjgura 2). Como ya sabe las c;;oordenadas 256 de. B son (c "C05a, c sen a).

v

B ..~
, 1"

'.

I I l. I I h'l
I I I ,

A

.

-

b

e

x

t.
(Figura 2)

En este caso, ,'Ia altura h d~1 triángulo es csen a; o sea h =.Csen a y el. área' del triángulo está dada por
A = ¡, (base}-(altura), sustituyendo se tiene que y (1)

o sea que el área.de un triángulo es igual a .Iamitad
,

del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman. Asimismo, en términos de a, e y el ángulo que

Base porla altura sobredos.

forma (JJ).
1 A =' '2 a e sen~

..(2) (3)

y en términos d~ a, b y el ángulo que forma(1).
A

=

1
'2 a b sen')'
I

Si igualamos las expresiones
1 '2
.

(1r y

(2) se tiene que:

be sena

=

1
2"

ac
{3

sen(3

b sena

=

asen

. 257

\

de do!) de
a sen~ b = se~

(4)

De la misma manera, si igualamos las expresiQnes (2) Y (3 ).
11'

,

,,

2" ac

sen(3 =

2"

ab sen-y ;

aSl que ~.

,

b

sen fJ

= --

e

sen 'Y5 ()

teorema de los senos.

Las ecuaciones obtenidas en (4~ y (5) se les llama el

,1, . ' 15..2

-da
1

=

~
y

=

~

(6)
I

RE~O(UCION' TRIANGULpS' REf;TANGULOS. DE

Triángulo rectángulo
esel que tiQne .

un ánQulo recto.
.B

a

I

A

b

, e

, ,rX

(Figura 3)

De la. Figura 3' ten~mos q~~:
si 'Y = 90°, entoncE:s (6), se reduce a:
a b sen~ =sen(3 =
.

.,
a

e

de dORde sen(3= ~ e
(7)

sen ~ == e;

258.

l.

eomo a, +

{3

+ 'r = 180 Y.'Y= 9~ entonces

o'

o

'Y+ (3= 90° ó a = 90° -f3así que'
cosa = (900'-{3) = cos 90° cos(3- .sen ,90° sen{3 +

,

= sen{3
sentJ
'

cosa =

Dadoque cosoa = sen (j
, .

~

cosoa

b c

de (7) V (8) se obtiene tgcX= ---;;; = COS\A De acuerdo
,

sen a,c

a -b=' - ' b
c

"

cosa . =r..0(9)

con (7), (8), (9) Y Figura ~, podemos

afirmar que en todo tr:iángÜlo rectángulo ACB, con ° . 'Y 90, que =
sen a cos a tg a

=

cateto cateto

opuesto
hipotenusa

á a á a

=

adyacente
hip-otenusa,

=
=
=
.

cateto opuesto á ,a cateto adyacente á a cateto adyacente á a
á a cateto opuest,o

cot a
sec a

hipotenusa cateto'...