Mate Avanzada

EJERCICIOS DE MATEMATICAS AVANZADAS INTEGRALES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER

1. Representar cada una de las siguientesfunciones por medio de una integral de Fourier.

⎧1 si 0 < x < 1 a) f ( x ) = ⎨ ⎩0 si x > 1

⎧x si 0 < x < a b) f ( x) = ⎨ ⎩0 si x >a

⎧ ⎪x 2 c) f ( x) = ⎨ ⎪0 ⎩

si 0 < x < 1 si x > 1

2. Usando la representación en integrales de Fourier, demostrar que:⎧0 cos xω + ω sin xω ⎪ dω = ⎨ π / 2 2 1+ ω ⎪πe − x ⎩

a)

∫

∞

0

si x < 0 si x = 0 si x > 0

b)

∫0

∞

πω3 sin xω dω = e − x cos x , si x > 0 4 2 ω +4

c)

∫0

∞

π cos xω dω = e − x , si x > 0 2 2 1+ ω

d)

∫0

∞ 1 −cos

⎧ π si 0 < x < π πω ⎪ sin xωdω = ⎨ 2 ω ⎪0 si x > π ⎩

3. Encontrar la transformada de Fourier de cada una de lassiguientes funciones y trazar la gráfica de su espectro de frecuencia. ⎧e t a) f ( t ) = ⎨ ⎩0 si t < 0 si t > 0 ⎧− 1 ⎪ b) f ( t ) = ⎨1⎪0 ⎩

si si si
2

−1< t < 0 0 < t 1

c) f(t) = 5 [H(t - 3) - H(t - 11)]

d) f ( t ) = 5e −3( t −5 )

e) f(t) = 1/(1 +t2)

g) f(t) = 3 H(t -2) e

-3t

4. Encontrar la transformada inversa de Fourier de cada una de las siguientes funciones.a) F(ω) = 9e −( ω+ 4 )

2

/ 32

b) F(ω) =

4e ( 2ω−6 )i 5 − (3 − ω)i

c) F( ω) =

1 + ωi 6 − ω 2 + 5 ωi