MATE TRABAJO

ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES DE PRIMER ORDEN
Integrantes:

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•
•
•
•
•
•

CHICATA MORALES, Grally
CHIQUIS YARANGA, Judith Nataly
MALAVER CARDENAS, Carolina Andrea
MORALES LOAYZA, Adriana Adelfa
MUÑOZ SOLIS, Maria Teresa
RAMIREZ ALEJANDRIA, Dina Katherine
RODRIGUEZ CASTRO, Maria Alejandra

DEFINICIÓN
• Una
 
ecuación diferencial lineal de primer orden tiene esta
forma :
• Tiene solucióngeneral:
y=
Donde C, es una constante arbitraria e I(x) es el factor
integrante: I(x) =

EJERCICIO 1 :
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
 

Solución:

 

I(x) = =
y=

y=
y= x - + c

 

EJERCICIO 2:
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial

=
Y la solución particular que satisface y = -2 cuando x= 1

Solución:

 =

=2+

- =2
 

I(x) =
=
=
=
=

y•= 
y= x
y= x
•Reemplazamos cuando y = -2 y x =1
-2 = (1) = 2(0) +c = c
y= x = 2x

EJERCICIO 3:
David deposita s/20,000 en una cuenta en que el interés se acumula a una tasa de
5% anual, capitalizado continuamente. El planea retirar $ 3000 por año.
a) Plantee y resuelve una ecuación diferencial para determinar el saldo Q(t) de
la cuenta t años después del deposito inicial.
b) ¿ Cuanto tardara la cuenta enagotarse?

Solución:
 a)

=5
= 0.05Q – 3000

= +
- 0.05 Q = - 3000

 I(t) =
=
Q(t) =
=
= 60000 + C
• Como Q(0) = 20000, se tiene:
20000 = 60000 + C
C = -40000
• Por lo tanto la ecuación diferencial sería:
Q(t) = 60000 – 40000

 b) Q(t) = 0
Q(t)= 0 = 60000 – 40000
40000 = 60000
=
= 1.5
0.05t =
t=
t 8.11
Rpta: La cuenta se agota en aproximadamente 8 años.

EJERCICIO 4
Un tanque de 70 galones contieneinicialmente 20 libras de
sal disueltas en 50 galones de agua. Suponga que cada
minuto entran al tanque 3 galones de agua salada, que
contienen 2 libras de sal disuelta por galón; y que la mezcla
(que se mantiene uniforme agitándola) sale del tanque a
razón de 2 galones por minuto.
a) Plantee y resuelva una ecuación diferencial para hallar
la expresión de la cantidad de sal en el tanque despuésde t minutos.
b) ¿Cuánta sal habrá en el tanque en el instante en que
empiece a derramarse?

•  

Solución:
a) Sea S(t) la cantidad de sal en el tanque en el momento t.

• Cada minuto entran al tanque (3)(2) = 6 libras de sal.
• Para hallar el n° de libras de sal que sale cada minuto:
• Se observa que en el momento t hay S(t) libras de sal y
50 + (3 – 2) t = 50 + t galones de solución en el tanque.
• Por tanto, la concentración de sal en la solución en el
momento t es: libras por galón, y la sal sale del tanque a
razón de:
2 galones/minuto] = libras/minuto.
• Se deduce que la razón de cambio neta de sal en el
tanque está dada por: = 6 -

•  Esta ecuación se puede escribir como:
+ =6
• P(t) = y q(t) = 6 .
• El factor integrante es:

I(t) ==
= =
=

Por tanto, la solución general es:

•S(t) =
• =2(50 + t ) +

•   hallar C:
Para
• 20 = S(0) = 2(50 + 0) +
• C = -80
• RESPUESTA: La cantidad de sal en el momento t es :
+ t) b) Después de t minutos, el tanque contiene 50 + t galones de
solución, y empieza a derramarse cuando la cantidad de
solución llegue a su capacidad de 70 galones.
t = 20
S(20) = 2(50 + 20) ≈ 99.18
Rpta: Entonces, cuando empieza a derramarse, el tanque
contieneaproximadamente 99 libras de sal.

EJERCICIO 5
Se inyecta un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente a una
razón constante r (la razón de inyección) y es eliminada del torrente
sanguíneo a una razón proporcional a la cantidad de medicamento
presente en el momento t. Inicialmente (cuando t=0), la sangre del
paciente no contiene medicamento.
a) Plantee y resuelva una ecuación diferencialpara la cantidad de
medicamento, A(t), presente en el torrente sanguíneo del paciente en
el momento t
b) Demuestre que A(t) tiende a un valor constante cuando t →∞. Este es
el nivel de medición en estado estable.
c) Suponga que el médico fija la razón de inyección a un paciente
particular en 2mg por hora, y que, después de 1 hora, se toma una
muestra que indica que hay 1.69 mg del medicamento en...