República Bolivariana de Venezuela
Universidad de Los Andes
San Cristóbal – Táchira – Venezuela

Demostración del Binomio de Newton

El binomio de Newton afirma que: a+bn=y=0nnybyan-ySolución:
i) Consideramos la función proposicional P(n)= x+an=y=0nnyxyan-y.
Probemos en primer lugar que P(1) es verdadera:
P1=a+b1=y=011ybya1-y
Tomamos el segundo miembro y tratamos de llegar alprimero.
y=011yxya1-y = 10a1b0+11a0b1 = 1a + 1b = a+b = a+b1, ya que 10=11=1

ii) Suponemos que P(k) es verdadera, la cual vendrá siendo la hipótesis de recurrencia.

Pk=a+bk=y=0kkybyak-yiii) Ahora P(k+1), donde esta vendrá siendo la tesis.
Pk+1=a+bk+1=y=0k+1k+1ybyak+1-y
Demostración:
Partimos de una parte de la tesis, para llegar a la otra.
a+bk+1= a+b. a+bk
=a.y=0kkybyak-y+b.kybyak-y
=y=0kkybyak+1-y+y=0kkybk+1ak-y

1 2
*En la primera igualdad se aplicó la propiedad de productos de potencias de igual base, en la otra se usó la hipótesis de recurrencia, y el axioma mixtode la adición con respecto al producto, y en la otra se introducen los factores de a y b dentro de la sumatoria, ya que estos no dependen del subíndice de la misma.
*Ahora resolvemos cada sumatoria,(1) y (2), a (1) le quitamos el primer término y sumamos desde y=1 hasta k, y en (2) le quitamos el último término y sumamos desde y=0 hasta y=k-1
1=k0boak+1+y=1kkybkak+1-y
2=y=0k-1kybk+1ak-y+kkbk+1a0
Debemos tener en cuenta que k0= k+10 y quekk= k+1k+1, en la 2da parte, se necesita hacer la adición desde 1, haciendo un cambio de variable, llamando y+1=j, en donde y=0 j=1 y cuandoy=k-1
j=k. Mientras que en la adición 1, podemos cambiar sin problema la letra y que es muda por la j. Después de estos cambios:
1+2=k+10b0ak+1+ j=1kkjbjak+1-j+ j=1kkj-1bjak-(j-1)+k+1k+1bk+1a0Finalmente tenemos que:
a+bk+1= k+10b0ak+1+j=1kkjbjak+1-j + j=1kkj-1bjak+1-j +k+1k+1bk+1a0
Observemos que el inicio y el final de ambas sumas es el mismo, además tienen la misma parte literal, sólo... [continua]

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