matemática
Páginas: 17 (4249 palabras)
Publicado: 7 de mayo de 2013
TÉCNICAS DE CONTEO
Fundamentos de la Matemática
1 Principios de la Adición y la Multiplicación
Supongamos que este sábado queremos ir al cine, o al teatro, pero no ambas cosas a
la vez. Si se exhiben 12 películas y 8 obras de teatro ¿cuántas posibilidades o decisiones
tenemos?
Podremos elegir una de las 12 películas o una de las 8 obras de teatro; en total
tendremos 12+8=20posibilidades.
Este ejemplo ilustra nuestro primer principio de conteo.
1.1 Principio de la Adición (o Regla de la suma)
Si una tarea o acción puede realizarse de m formas diferentes, y otra tarea o acción
puede realizarse de n formas diferentes, pero de modo que no es posible realizarlas
simultáneamente, entonces, tendremos m+n formas diferentes de realizar una de ellas.
El enunciado anterior se puedegeneralizar de la siguiente forma:
Si disponemos de n acciones o tareas, y cada una de ellas puede realizarse
respectivamente de a1, a2,…..an formas diferentes, para llevar a cabo una sola cualquiera de
ellas tendremos
n
∑a
i
formas distintas.
1
Ejemplo 2
Supongamos que este sábado queremos ir al teatro y luego a cenar. Si se exhiben 4
obras de teatro y hay 5 restoranes¿cuántas posibilidades de elección tenemos?
Tenemos 4 posibilidades de elegir una obra de teatro y por cada una de ellas
tenemos 5 posibilidades de elegir un restorán.
Tendremos entonces, 4 ⋅ 5 = 20 posibilidades de ir al teatro y luego cenar.
Este tipo de problemas puede visualizarse mediante un Diagrama de Árbol. Los
diagramas de árbol son muy útiles para resolver o analizar algunos tipos deproblemas de
Instituto de Profesores “Artigas”
2008
1
TÉCNICAS DE CONTEO
conteo. La figura a continuación muestra el diagrama de árbol correspondiente al ejemplo
anterior:
Restorán 1
Restorán 2
(O1, R5)
Restorán 1
(O2, R1)
Restorán 2
(O2, R2)
Restorán 3
(O2, R3)
Restorán 4
(O2, R4)
Restorán 5
(O2, R5)
Restorán 1
(O3, R1)
Restorán 2
(O3,R2)
Restorán 3
(O3, R3)
Restorán 4
(O3, R4)
Restorán 5
(O3, R5)
Restorán 1
(O4, R1)
Restorán 2
(O4, R2)
Restorán 3
(O4, R3)
Restorán 4
(O4, R4)
Restorán 5
Obra de Teatro 4
(O1, R4)
Restorán 5
Obra de Teatro 3
(O1, R3)
Restorán 4
Obra de Teatro 2
(O1, R2)
Restorán 3
Obra de Teatro 1
(O1, R1)
(O4, R5)
Es fácilmenteobservable que en los extremos de las últimas ramas tenemos todos los
casos posibles, por lo cual es muy sencillo contarlos.
El ejemplo anterior muestra lo que llamaremos segundo principio de conteo:
1.2 Principio de la Multiplicación (o Regla del producto)
Si un procedimiento o actividad puede descomponerse en las etapas primera y
segunda, y existen m resultados posibles para la primeraetapa y si, para cada uno de estos
resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento
total puede realizarse, en el orden dado, de m·n formas.
El enunciado anterior se puede generalizar fácilmente para los casos en que se
consideren tres o más descomposiciones.
Fundamentos de la Matemática
2008
2
TÉCNICAS DE CONTEO
1.3 Arreglos simples y conrepetición
Para extraer dinero de un cajero automático, uno de los pasos que debemos seguir es
introducir una clave de cuatro dígitos ¿cuántas claves distintas son posibles?
Son sin duda claves distintas 6348, 5721 y 5723. También son claves distintas 3051
y 0351, y aquellas que tengan dígitos repetidos, por ej. 4888 y 3311.
Aplicaremos el principio de la multiplicación para calcular elnúmero de posibles
claves distintas.
Tenemos 4 posiciones para colocar los números. En la primera posición podemos
colocar cualquiera de los 10 dígitos y por cada uno podemos colocar 10 dígitos en la
segunda posición, razonando análogamente para las 3ª y 4ª posiciones se tiene:
10 ·
10 ·
10 ·
10
= 104
a
a
a
1a posición 2 posición 3 posición 4 posición
Por lo tanto son...
Fundamentos de la Matemática
1 Principios de la Adición y la Multiplicación
Supongamos que este sábado queremos ir al cine, o al teatro, pero no ambas cosas a
la vez. Si se exhiben 12 películas y 8 obras de teatro ¿cuántas posibilidades o decisiones
tenemos?
Podremos elegir una de las 12 películas o una de las 8 obras de teatro; en total
tendremos 12+8=20posibilidades.
Este ejemplo ilustra nuestro primer principio de conteo.
1.1 Principio de la Adición (o Regla de la suma)
Si una tarea o acción puede realizarse de m formas diferentes, y otra tarea o acción
puede realizarse de n formas diferentes, pero de modo que no es posible realizarlas
simultáneamente, entonces, tendremos m+n formas diferentes de realizar una de ellas.
El enunciado anterior se puedegeneralizar de la siguiente forma:
Si disponemos de n acciones o tareas, y cada una de ellas puede realizarse
respectivamente de a1, a2,…..an formas diferentes, para llevar a cabo una sola cualquiera de
ellas tendremos
n
∑a
i
formas distintas.
1
Ejemplo 2
Supongamos que este sábado queremos ir al teatro y luego a cenar. Si se exhiben 4
obras de teatro y hay 5 restoranes¿cuántas posibilidades de elección tenemos?
Tenemos 4 posibilidades de elegir una obra de teatro y por cada una de ellas
tenemos 5 posibilidades de elegir un restorán.
Tendremos entonces, 4 ⋅ 5 = 20 posibilidades de ir al teatro y luego cenar.
Este tipo de problemas puede visualizarse mediante un Diagrama de Árbol. Los
diagramas de árbol son muy útiles para resolver o analizar algunos tipos deproblemas de
Instituto de Profesores “Artigas”
2008
1
TÉCNICAS DE CONTEO
conteo. La figura a continuación muestra el diagrama de árbol correspondiente al ejemplo
anterior:
Restorán 1
Restorán 2
(O1, R5)
Restorán 1
(O2, R1)
Restorán 2
(O2, R2)
Restorán 3
(O2, R3)
Restorán 4
(O2, R4)
Restorán 5
(O2, R5)
Restorán 1
(O3, R1)
Restorán 2
(O3,R2)
Restorán 3
(O3, R3)
Restorán 4
(O3, R4)
Restorán 5
(O3, R5)
Restorán 1
(O4, R1)
Restorán 2
(O4, R2)
Restorán 3
(O4, R3)
Restorán 4
(O4, R4)
Restorán 5
Obra de Teatro 4
(O1, R4)
Restorán 5
Obra de Teatro 3
(O1, R3)
Restorán 4
Obra de Teatro 2
(O1, R2)
Restorán 3
Obra de Teatro 1
(O1, R1)
(O4, R5)
Es fácilmenteobservable que en los extremos de las últimas ramas tenemos todos los
casos posibles, por lo cual es muy sencillo contarlos.
El ejemplo anterior muestra lo que llamaremos segundo principio de conteo:
1.2 Principio de la Multiplicación (o Regla del producto)
Si un procedimiento o actividad puede descomponerse en las etapas primera y
segunda, y existen m resultados posibles para la primeraetapa y si, para cada uno de estos
resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento
total puede realizarse, en el orden dado, de m·n formas.
El enunciado anterior se puede generalizar fácilmente para los casos en que se
consideren tres o más descomposiciones.
Fundamentos de la Matemática
2008
2
TÉCNICAS DE CONTEO
1.3 Arreglos simples y conrepetición
Para extraer dinero de un cajero automático, uno de los pasos que debemos seguir es
introducir una clave de cuatro dígitos ¿cuántas claves distintas son posibles?
Son sin duda claves distintas 6348, 5721 y 5723. También son claves distintas 3051
y 0351, y aquellas que tengan dígitos repetidos, por ej. 4888 y 3311.
Aplicaremos el principio de la multiplicación para calcular elnúmero de posibles
claves distintas.
Tenemos 4 posiciones para colocar los números. En la primera posición podemos
colocar cualquiera de los 10 dígitos y por cada uno podemos colocar 10 dígitos en la
segunda posición, razonando análogamente para las 3ª y 4ª posiciones se tiene:
10 ·
10 ·
10 ·
10
= 104
a
a
a
1a posición 2 posición 3 posición 4 posición
Por lo tanto son...
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