Matemáticas iv

Matemáticas IV

Temas:

Clasificación

ECUACIÓN DIFERENCIAL:

1.- Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED).

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.Clasificación Según el Tipo

Son de tipo ordinaria si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

Se llama ecuación diferencial parcial si una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

Clasificación Según elOrden

Se le llama orden de la ecuación al orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial.

Clasificación Según la Linealidad o No Linealidad

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene las siguientes dos propiedades:

• La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de cada término que involucra a “y”es 1.

• Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente “x”.

2. Solución de una ecuación diferencial. Se dice que una función F cualquiera, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad.

En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinariaF(x, y, yI,…, y(n))=0

es una función f que posee al menos n derivadas y satisface la ecuación; es decir,

F(x, f(x), f I(x),…, f(n)(x))=0

para toda x de I. La forma precisa del intervalo I se ha dejado intencionalmente sin determinar en la Definición 2, ya que, dependiendo del contexto de la discusión, I puede representar diferentes tipos de intervalos: un intervaloabierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], un intervalo infinito (0, ∞), etc…

Número de soluciones

El estudiante debe saber que una ecuación diferencial dada tiene generalmente un número infinito de soluciones. Por sustitución directa, podemos demostrar que cualquier curva, esto es, función, de la familia uniparamétrica y = cex², donde c es cualquier constante arbitraria, tambiénsatisface la ecuación. La solución trivial es un miembro de esta familia de soluciones correspondientes a
c = 0.

Más terminología

El estudio de las ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. Al evaluar una antiderivada o integral indefinida usamos una sola constante de integración. De manera análoga, al resolver una ecuación diferencial de primer ordenF(x, y, yI)=0 usualmente se obtendrá una familia de curvas o funciones
G(x, y, C)=0 que contiene un parámetro arbitrario tal que cada miembro de la familia es una solución de la ecuación diferencial. De hecho, al resolver
una ecuación de n-ésimo orden F(x, y, yI,…, y(n))=0, en donde y(n) significa
dny/dxn, esperamos obtener una familia n-paramétricas de soluciones
G(x, y,C1,…, Cn)=0.

Una solución de una ecuación diferencial que no contiene parámetros arbitrarios se llama solución particular. Una manera de obtener una solución particular es elegir valores específicos del parámetro (o de los parámetros) en una familia de soluciones. Por ejemplo, de inmediato se ve que y = cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación de primer orden yI =y. Para c = 0, -2 y 5 se obtienen las soluciones particulares y = 0, y = -2ex, y y = 5ex, respectivamente.
Variables separables

Una ecuación en la que aparecen x, y, yI, yII,... , y(n), donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n.

La manera más fácil de explicar la manera en que se...