Matemáticas recreativas

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La Isla del Tesoro
 Por un documento viejo, tan viejo como una tortuga, te enteras de que en cierta isla hay un tesoro. El documento anota que junto al varadero de la isla hay un árbol de pino, unárbol de roble y un faro. Para encontrar el tesoro, el documento recomienda seguir las siguientes instrucciones; a saber:
 a)    A partir del faro caminar en línea recta hasta el pino y contar elnúmero de pasos que hay entre el faro y el pino. Luego, ya en el pino, girar noventa grados a la izquierda y caminar en esa dirección tantos pasos como los que hay entre el faro y el pino. Clavar allí unaestaca.
 b)    Desde el faro otra vez, también en línea recta, caminar hacia el roble y contar el número de pasos que hay. Ahora, ya en el roble, girar a la derecha noventa grados y caminar en esanueva dirección una cantidad de pasos igual a la que hay entre el faro y el roble. Clavar allí otra estaca.
 c)    En el punto medio del segmento que une las dos estacas está el tesoro.
 Ya en la islate enteras de que el faro no está, y lo que es peor, nadie recuerda el lugar donde estuvo. Desconsolado decides partir de un punto cualquiera como si fuera faro y sigues las instrucciones. Para tusorpresa encuentras el tesoro.
 Demuestra por qué no importa el lugar de ubicación del faro.
 Resolución
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1. Por números complejos.
Llamemos con letras minúsculas a los complejos de loscorrespondientes afijos. Se tienen las siguientes igualdades:

a = r – i(f – r) ( girado de f, -90º, respecto de r)
b = p + i(f-p) ( girado de f, 90º, respecto de p)
t = (a + b)/2= (r + p)/2 + i(r – p)/2 con lo que se prueba que t no depende de f.
Veamos otra forma de expresar t. Llamemos M al punto medio del segmento RP, entonces:
t = m + i(r + p -2p)/2 = m + i(m –p). Esto es: el tesoro está en la mediatriz de RP, intersección con la semicircunferencia de diámetro RP.

2. Por coordenadas.
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Así se obtienen las coordenadas de los puntos...
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